Statistiques et data mining

Master Hydrosystèmes et Bassins Versants

Louis Manière

Université de Tours

2025-09-30

Introduction

Les statistiques

L’ensemble des méthodes qui ont pour objet la collecte, le traitement et l’interprétation de données d’observation relatives à un groupe d’individus ou d’unités.

• Statistique descriptive : Décrire, résumer, visualiser des données.
• Statistique inférentielle (Inférence statistique) : induire des caractéristiques sur une population à partir d’un échantillon (relation, distribution).

Population ou échantillon ?

• Population : ensemble des individus ou unités statistiques sur lesquels on veut faire des observations.
• Echantillon : sous-ensemble de la population, choisi de manière aléatoire ou non, qui permet de faire des observations.

Sélection de tous les bruns de la salle, population ou échantillon ?

Le data mining

L’exploration et l’analyse de base de données pour le résumer, détecter des règles, des tendances, des associations ou des structures particulières. L’exploration des bases de données existantes en géosciences peut être utilisée pour détecter des nouvelles tendances ou comportements dans des milieux ou bien préparer une étude avant de une campagne de mesure.

Objectifs du cours

• Apprendre à décrire un jeu de données, le synthétiser pour mettre en évidence les informations pertinentes qu’il contient et ses limites pour répondre à certaines questions.

• Pourvoir créer de nouvelles informations à partir de relations ou comportements identifiés dans les données. Utiliser ces informations pour prédire de nouvelles données et identifier communauté d’individus communs ou différents.

• Acquérir des outils de manipulation, description et d’analyse de données.

• Avoir une démarche critique sur les données, les outils statistiques et les résultats obtenus.

R et RStudio

• Un logiciel et language de développement très complet, gratuit et open source avec une communauté active.
• Permet de reproduire et partager facilement les analyses.
• Un début apprentissage un peu plus difficile que des logiciels “clé en main”.

¹

1. Artwork by @allison_horst.

Ressources et sources du cours

• Les statistiques pour statophobes (2004), Denis Poinsot
• Data Mining et Statistique décisionnelle (2017), Stéphane Tufféry, Editions Technip
• Analyse-R, Joseph Larmarange - Université Paris Cité, IRD
• Guide-R, Joseph Larmarange - Université Paris Cité, IRD
• Grimoire, Lise Vaudor, CNRS
• Cours d’Eric Marcon, Agro Paris Tech
• Cours d’Antoine Massé, IUT de Bordeaux
• R for datascience, Hadley Wickham, Mine Çetinkaya-Rundel, and Garrett Grolemund
• Formation ministérielle à R et aux sciences des données
• Vidéos d’Eric Lombardot - Université Paris 1 Panthéon Sorbonne
• Vidéos de Tierry Ancelle, EHESP, MCU-PH, Faculté de médecine Paris-Descartes

Pour éviter R studio : - Logiciel Jamovi - Logiciel Rattle

Plan du cours

• Introduction
• Statistiques univariées
• Statistiques bivariées
• La comparaison de jeux de données
• Statistiques multivariées ou multimentionnelles
• Classification

Données utilisées

• Données hydromorphologiques issus du protocole CARHYCE (Agence Française de la Biodiversité). Des données retravaillées et valorisées sont disponibles sur IED CARHYCE (CNRS-AFB)¹
  • Mesures de morphologie du lit, de granulométrie, de débit et de ripisylve.
  • Des données enrichies par des estimations à plein bord et les surfaces des bassins versant.
  • Plus de 2000 stations de mesures.

1. Gob F., Thommeret N., Bilodeau C., Tamisier V., Duval E., Legentil C., Grancher D., Raufaste S., Baudoin J-M. et Kreutzenberger K., Interface d’exploitation des données Carhyce [en ligne], Laboratoire de Géographie Physique – OFB https://analytics.huma-num.fr/ied_carhyce/ Consultée le 03/08/2024.

Installation des (nombreux?) packages

# install all necessary packages
install.packages(c("ggplot2", "gridExtra", "dplyr", "tidyr", "tibble", 
                   "janitor", "skimr", "dataMaid", "plotly", 
                   "e1071", "gmodels", "ggpmisc", "nortest", 
                   "FactoMineR", "factoextra", "gtsummary", 
                   "explor", "boot", "qqplotr", "corrplot",
                   "readxl", "sf", "tmap"))

Importons les pakages du cours

library(rlang) # for the sym function
library(ggplot2) # Graphics
library(gridExtra) # Multiple plots
library(tibble) # Table visualisation
library(janitor) # Column names cleaning
library(skimr) # Data summary
library(dataMaid) # Data report
library(plotly) # Interactive plots
library(e1071) # Skewness
library(gmodels) # Contingency tables
library(ggpmisc) # Regression line
library(nortest) # Normality tests
library(FactoMineR) # Factorial analysis
library(factoextra) # Factorial analysis
library(gtsummary) # Regression summary
library(explor) # Data exploration
library(boot) # Bootstrap
library(qqplotr) # QQ-plot
library(corrplot) # Correlation plot
library(readxl) # Excel files
library(sf) # Spatial data
library(tmap) # Thematic maps
library(dplyr) # Data manipulation
library(tidyr) # Data cleaning

Explorons le jeu de données

# import dataset
carhyce_brute <- read.csv("data/Operations_CARHYCE_2024-06-25.csv",
                  sep=";",dec=",",header=TRUE, encoding = "utf-8")

print(as_tibble(head(carhyce_brute)))

# A tibble: 6 × 93
  Identifiant.opération Localisation.station.de.mes…¹ Code.station      X      Y
                  <int> <chr>                                <int>  <dbl>  <dbl>
1                     1 L'HELPE MAJEURE À EPPE SAUVA…      1001122 784154 7.00e6
2                     2 L'HELPE MINEURE À MAROILLES …      1006000 757929 7.00e6
3                     3 LA SAMBRE RIVIÈRE À BERGUES …      1009300 751051 6.99e6
4                     4 L'ESCAUT RIVIÈRE À CRÉVECOEU…      1010000 717769 7.00e6
5                     5 LA CLARENCE À CHOCQUES (62)        1069000 669615 7.05e6
6                     6 L'YSER À BAMBECQUE (59)            1089000 668113 7.09e6
# ℹ abbreviated name: ¹​Localisation.station.de.mesure
# ℹ 88 more variables: Identifiant.point.prélèvement <int>,
#   Date.réalisation <chr>, Débit.mesuré..m3.s. <dbl>,
#   Débit.station.hydro..m3.s. <dbl>, Distance.interpoint..m. <dbl>,
#   Largeur.plein.bord.évaluée..m. <dbl>, Largeur.mouillée.évaluée..m. <dbl>,
#   Longueur.réelle.opération..m. <dbl>,
#   Longueur.théorique.opération..m. <dbl>, Pente.ligne.d.eau.... <dbl>, …

Dimensions et variables

names(carhyce_brute) # variable names
class(carhyce_brute) # table type (data.frame)
dim(carhyce_brute)   # table dimension
str(carhyce_brute)   # variable type

print(str(carhyce_brute))

'data.frame':   4339 obs. of  93 variables:
 $ Identifiant.opération                                  : int  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
 $ Localisation.station.de.mesure                         : chr  "L'HELPE MAJEURE À EPPE SAUVAGE (59)" "L'HELPE MINEURE À MAROILLES (59)" "LA SAMBRE RIVIÈRE À BERGUES SUR SAMBRE (02)" "L'ESCAUT RIVIÈRE À CRÉVECOEUR SUR ESCAUT (59)" ...
 $ Code.station                                           : int  1001122 1006000 1009300 1010000 1069000 1089000 1090000 1092000 1115000 1116000 ...
 $ X                                                      : num  784154 757929 751051 717769 669615 ...
 $ Y                                                      : num  7002804 7002371 6993135 7000673 7048933 ...
 $ Identifiant.point.prélèvement                          : int  165938 165945 165948 165949 165974 165978 165979 165981 165993 165994 ...
 $ Date.réalisation                                       : chr  "2009-08-19" "2009-09-17" "2009-07-08" "2009-07-01" ...
 $ Débit.mesuré..m3.s.                                    : num  0.148 0.272 0.017 1.007 0.358 ...
 $ Débit.station.hydro..m3.s.                             : num  0.615 0.871 0.111 NA 0.473 0.164 0.1 0.669 0.417 NA ...
 $ Distance.interpoint..m.                                : num  0.7 1.1 0.55 0.7 0.8 0.75 0.7 0.95 1.2 0.6 ...
 $ Largeur.plein.bord.évaluée..m.                         : num  9.63 15 7 14.2 8.07 ...
 $ Largeur.mouillée.évaluée..m.                           : num  4.7 8.13 3.82 4.9 5.46 5.3 4.85 6.6 8.28 3.98 ...
 $ Longueur.réelle.opération..m.                          : num  133 210 100 199 113 ...
 $ Longueur.théorique.opération..m.                       : num  135 210 98 199 113 ...
 $ Pente.ligne.d.eau....                                  : num  4.06 1.43 4.7 3.2 0.88 1.33 5.3 1.6 3.82 3.93 ...
 $ Pente.ligne.d.eau.évaluée                              : num  NA NA NA NA NA NA NA NA NA NA ...
 $ Description.habitat.marginaux                          : chr  "" "" "" "" ...
 $ Continuité.ripisylve.rive.gauche                       : chr  "continue" "isolée" "semi-continue" "bosquets éparses" ...
 $ Continuité.ripisylve.rive.droite                       : chr  "bosquets éparses" "espacée-régulière" "bosquets éparses" "bosquets éparses" ...
 $ Nom.réseau.de.mesure                                   : chr  NA NA NA NA ...
 $ Observations                                           : chr  "Depuis la RG" "De la rive gauche (A1) à la rive droite (A4)" "Depuis la RG" "" ...
 $ Version.protocole                                      : chr  "2009 (Pré-déploiement)" "2009 (Pré-déploiement)" "2009 (Pré-déploiement)" "2009 (Pré-déploiement)" ...
 $ Structure.responsable                                  : chr  "OFFICE FRANCAIS DE LA BIODIVERSITE" "OFFICE FRANCAIS DE LA BIODIVERSITE" "OFFICE FRANCAIS DE LA BIODIVERSITE" "OFFICE FRANCAIS DE LA BIODIVERSITE" ...
 $ Cours.d.eau                                            : chr  "Helpe majeure" "Helpe mineure" "Sambre" "Escaut" ...
 $ Nombre.transect                                        : int  15 15 15 15 15 15 15 15 17 15 ...
 $ D16..mm.                                               : num  18 16.8 18 23 33 ...
 $ D50..mm.                                               : num  29.5 34.5 28.5 65.5 50 49 97 34 38 30 ...
 $ D84..mm.                                               : num  53 50.2 46 105.2 75.3 ...
 $ Indice.Folk.et.Ward                                    : num  0.783 0.786 0.736 1.086 0.627 ...
 $ Indice.Fredle                                          : num  21.3 19.9 20.8 29.7 37 ...
 $ Surface.mouillée.Q1..m2.                               : num  1.56 2.49 0.59 2.82 1.72 ...
 $ Largeur.mouillée.Q1..m.                                : num  4.77 9.13 2.98 5.64 4.71 ...
 $ Périmètre.mouillé.Q1..m.                               : num  5.08 9.29 3.15 6.1 4.94 ...
 $ Profondeur.maximum.Q1..m.                              : num  0.451 0.444 0.32 0.792 0.527 0.571 0.431 0.664 0.397 0.433 ...
 $ Profondeur.moyenne.Q1..m.                              : num  0.311 0.281 0.202 0.5 0.365 0.341 0.279 0.389 0.241 0.315 ...
 $ Rayon.hydraulique.Q1                                   : num  0.281 0.275 0.185 0.459 0.348 0.318 0.261 0.371 0.234 0.287 ...
 $ Rapport.largeur.Profondeur.Q1                          : num  16.57 28.59 12.02 7.45 9.08 ...
 $ Coefficient.rugosité                                   : num  3.47 6.82 1.29 10.61 14.17 ...
 $ Surface.mouillée.Qb..m2.                               : num  10.02 37.33 5.75 15.99 8.53 ...
 $ Largeur.mouillée.Qb..m.                                : num  8.62 15.77 6.62 13.06 7.5 ...
 $ Périmètre.mouillé.Qb..m.                               : num  9.8 18.37 7.63 14.28 8.59 ...
 $ Profondeur.maximum.Qb..m.                              : num  1.7 3.17 1.45 2.16 1.66 ...
 $ Profondeur.moyenne.Qb..m.                              : num  1.163 2.371 0.873 1.227 1.148 ...
 $ Rayon.hydraulique.Qb                                   : num  1.016 2.035 0.757 1.123 0.998 ...
 $ Rapport.largeur.Profondeur.Qb                          : num  5.2 5.01 4.63 6.05 4.5 ...
 $ Force.tractrice.Qb...N.m2.                             : num  40.45 28.55 34.91 35.26 8.62 ...
 $ Débit.plein.bord..m3.s.                                : num  2.242 15.452 0.423 10.373 3.581 ...
 $ Ecart.type.cote.point                                  : num  0.68 1.184 0.594 0.738 0.671 ...
 $ Coefficient.variation.cote.point                       : num  0.007 0.012 0.006 0.007 0.007 0.012 0.011 0.017 0.006 0.006 ...
 $ Ecart.type.cote.point.en.eau                           : num  0.322 0.2 0.151 0.234 0.162 0.241 0.215 0.282 0.197 0.137 ...
 $ Coefficient.variation.cote.point.en.eau                : num  0.969 0.736 0.788 0.449 0.446 0.706 0.802 0.762 0.86 0.427 ...
 $ Ecart.type.largeur.mouillée.Qb                         : num  1.28 1.68 1 1.4 1.12 ...
 $ Coefficient.variation.largeur.mouillée.Qb              : num  0.148 0.106 0.151 0.107 0.15 0.091 0.088 0.119 0.165 0.172 ...
 $ Vitesse.moyenne.Qb..m.s.                               : num  0.234 0.418 0.075 0.658 0.424 0.027 0.215 0.756 0.52 0.636 ...
 $ Ligne.énergie.Qb..m.                                   : num  1.71 3.18 1.45 2.19 1.68 ...
 $ Cote.ligne.énergie.Qb                                  : num  101 103 101 101 101 ...
 $ Nombre.de.Froude.Qb                                    : num  0.071 0.087 0.026 0.191 0.127 0.006 0.053 0.143 0.154 0.213 ...
 $ Puissance.spécifique.Qb..w.m2.                         : num  10.56 13.88 3 25.2 4.21 ...
 $ Nombre.de.mouille                                      : int  4 4 3 3 3 3 3 4 3 4 ...
 $ Profondeur.moyenne.des.mouilles..m.                    : num  0.439 0.25 0.247 0.165 0.086 0.558 0.199 0.362 0.331 0.117 ...
 $ Nombre.de.berges.total                                 : int  30 30 30 30 30 30 30 30 34 30 ...
 $ Nombre.de.berges.artificialisées                       : int  0 4 0 0 0 16 0 0 15 2 ...
 $ Score.ripisylve                                        : num  NA 0.043 0.101 0.188 0.39 0.029 0.39 0.087 0.35 NA ...
 $ Classe.ripisylve                                       : int  3 4 1 4 4 1 3 4 4 3 ...
 $ X..fines                                               : num  5.56 16.13 23.86 63.02 53.12 ...
 $ X..graviers.cailloux                                   : num  86.1 76.6 75 29.4 43.8 ...
 $ X..blocs.rochers                                       : num  8.33 7.26 1.14 7.56 3.12 ...
 $ Indice.de.Shannon.granulo                              : num  1.73 1.9 1.74 1.73 1.94 ...
 $ Surface.BV..km2.                                       : num  75.1 248.7 20.5 399.6 80.9 ...
 $ Proportion.de.roche.imperméable.BV                     : num  0.004 0.097 0 0 0.054 1 0.033 0 0.076 0 ...
 $ Code.HER.ou.DOM.dominant                               : int  22 20 20 9 9 20 9 9 9 9 ...
 $ Nom.HER.ou.DOM.dominant                                : chr  "ARDENNES" "DEPOTS ARGILO SABLEUX" "DEPOTS ARGILO SABLEUX" "TABLES CALCAIRES" ...
 $ Type.DOM                                               : int  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
 $ Coefficient.de.sinuosité                               : num  NA 1.17 1.18 1.01 1.07 1.11 1.28 1.17 1.01 1.2 ...
 $ Débit.Q01.RHT..m3.s.                                   : num  NA 11.07 1.22 14.58 2.39 ...
 $ Puissance.Q01.RHT..w.m.                                : num  NA 155.3 56 457.7 20.6 ...
 $ Puissance.spécifique.Q01.RHT..w.m2.                    : num  NA 9.85 8.46 35.05 2.75 ...
 $ Station.référence.modèle                               : int  0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ...
 $ Résidu.modèle.Largeur.mouillée.Qb                      : num  0.025 0.174 0.17 -0.029 -0.097 0.101 0.462 0.74 0.141 -0.417 ...
 $ Résidu.modèle.rapport.largeur.profondeur.Qb            : num  -0.331 -0.177 -0.081 -0.286 -0.429 -0.262 -0.504 -0.518 0.019 -0.54 ...
 $ Résidu.modèle.profondeur.mouilles                      : num  0.75 0.332 0.618 -0.344 -0.821 ...
 $ Résidu.modèle.profondeur.Qb                            : num  0.349 0.35 0.246 0.228 0.299 ...
 $ Résidu.modèle.pente.ligne.d.eau                        : num  0.349 0.556 0.233 0.906 -1.071 ...
 $ Résidu.modèle.surface.mouillée.Qb                      : num  0.393 0.575 0.309 0.029 0.241 ...
 $ Résidu.standardisé.modèle.largeur.mouillée.Qb          : num  0.178 0.402 0.389 -0.112 -0.371 ...
 $ Résidu.standardisé.modèle.rapport.largeur.profondeur.Qb: num  -1.291 -0.685 -0.372 -0.749 -1.126 ...
 $ Résidu.standardisé.modèle.profondeur.mouilles          : num  1.839 0.208 0.495 -0.729 -1.74 ...
 $ Résidu.standardisé.modèle.profondeur.Qb                : num  1.595 0.823 0.555 0.67 0.879 ...
 $ Résidu.standardisé.modèle.pente.ligne.d.eau            : num  0.169 0.67 0.162 1.125 -1.33 ...
 $ Résidu.standardisé.modèle.surface.mouillée.Qb          : num  1.239 0.884 0.393 0.065 0.532 ...
 $ IMG                                                    : num  6.31 3.67 2.37 3.45 5.98 ...
 $ Modèle.référence.IMG                                   : chr  "Colinéen Est" "Plaine/collinéen détritique" "Plaine/collinéen détritique" "TABLES CALCAIRES" ...
 $ Classe.écart.IMG                                       : chr  "moyen" "tres faible" "tres faible" "tres faible" ...
NULL

Les données quantitatives

¹

1. Artwork by @allison_horst.

Les données qualitatives

¹

1. Artwork by @allison_horst.

Nettoyage des colonnes

# clean column names with janitor
carhyce <- carhyce_brute %>% # %>% = pipe operator from dplyr |> for native pipe
  clean_names() # clean column  names
print(names(carhyce))

 [1] "identifiant_operation"                                  
 [2] "localisation_station_de_mesure"                         
 [3] "code_station"                                           
 [4] "x"                                                      
 [5] "y"                                                      
 [6] "identifiant_point_prelevement"                          
 [7] "date_realisation"                                       
 [8] "debit_mesure_m3_s"                                      
 [9] "debit_station_hydro_m3_s"                               
[10] "distance_interpoint_m"                                  
[11] "largeur_plein_bord_evaluee_m"                           
[12] "largeur_mouillee_evaluee_m"                             
[13] "longueur_reelle_operation_m"                            
[14] "longueur_theorique_operation_m"                         
[15] "pente_ligne_d_eau"                                      
[16] "pente_ligne_d_eau_evaluee"                              
[17] "description_habitat_marginaux"                          
[18] "continuite_ripisylve_rive_gauche"                       
[19] "continuite_ripisylve_rive_droite"                       
[20] "nom_reseau_de_mesure"                                   
[21] "observations"                                           
[22] "version_protocole"                                      
[23] "structure_responsable"                                  
[24] "cours_d_eau"                                            
[25] "nombre_transect"                                        
[26] "d16_mm"                                                 
[27] "d50_mm"                                                 
[28] "d84_mm"                                                 
[29] "indice_folk_et_ward"                                    
[30] "indice_fredle"                                          
[31] "surface_mouillee_q1_m2"                                 
[32] "largeur_mouillee_q1_m"                                  
[33] "perimetre_mouille_q1_m"                                 
[34] "profondeur_maximum_q1_m"                                
[35] "profondeur_moyenne_q1_m"                                
[36] "rayon_hydraulique_q1"                                   
[37] "rapport_largeur_profondeur_q1"                          
[38] "coefficient_rugosite"                                   
[39] "surface_mouillee_qb_m2"                                 
[40] "largeur_mouillee_qb_m"                                  
[41] "perimetre_mouille_qb_m"                                 
[42] "profondeur_maximum_qb_m"                                
[43] "profondeur_moyenne_qb_m"                                
[44] "rayon_hydraulique_qb"                                   
[45] "rapport_largeur_profondeur_qb"                          
[46] "force_tractrice_qb_n_m2"                                
[47] "debit_plein_bord_m3_s"                                  
[48] "ecart_type_cote_point"                                  
[49] "coefficient_variation_cote_point"                       
[50] "ecart_type_cote_point_en_eau"                           
[51] "coefficient_variation_cote_point_en_eau"                
[52] "ecart_type_largeur_mouillee_qb"                         
[53] "coefficient_variation_largeur_mouillee_qb"              
[54] "vitesse_moyenne_qb_m_s"                                 
[55] "ligne_energie_qb_m"                                     
[56] "cote_ligne_energie_qb"                                  
[57] "nombre_de_froude_qb"                                    
[58] "puissance_specifique_qb_w_m2"                           
[59] "nombre_de_mouille"                                      
[60] "profondeur_moyenne_des_mouilles_m"                      
[61] "nombre_de_berges_total"                                 
[62] "nombre_de_berges_artificialisees"                       
[63] "score_ripisylve"                                        
[64] "classe_ripisylve"                                       
[65] "x_fines"                                                
[66] "x_graviers_cailloux"                                    
[67] "x_blocs_rochers"                                        
[68] "indice_de_shannon_granulo"                              
[69] "surface_bv_km2"                                         
[70] "proportion_de_roche_impermeable_bv"                     
[71] "code_her_ou_dom_dominant"                               
[72] "nom_her_ou_dom_dominant"                                
[73] "type_dom"                                               
[74] "coefficient_de_sinuosite"                               
[75] "debit_q01_rht_m3_s"                                     
[76] "puissance_q01_rht_w_m"                                  
[77] "puissance_specifique_q01_rht_w_m2"                      
[78] "station_reference_modele"                               
[79] "residu_modele_largeur_mouillee_qb"                      
[80] "residu_modele_rapport_largeur_profondeur_qb"            
[81] "residu_modele_profondeur_mouilles"                      
[82] "residu_modele_profondeur_qb"                            
[83] "residu_modele_pente_ligne_d_eau"                        
[84] "residu_modele_surface_mouillee_qb"                      
[85] "residu_standardise_modele_largeur_mouillee_qb"          
[86] "residu_standardise_modele_rapport_largeur_profondeur_qb"
[87] "residu_standardise_modele_profondeur_mouilles"          
[88] "residu_standardise_modele_profondeur_qb"                
[89] "residu_standardise_modele_pente_ligne_d_eau"            
[90] "residu_standardise_modele_surface_mouillee_qb"          
[91] "img"                                                    
[92] "modele_reference_img"                                   
[93] "classe_ecart_img"                                       

Statistiques univariées

Objectifs

• Description des types de variables
• Analyse de la distribution (graphiques et paramètres)
• Discrétisation de variables quantitatives
• Détection et traitement des valeurs extrêmes
• Comparaison à la loi normale

nettoyage des lignes et sélection des variables

carhyce_stat <- carhyce %>% 
  group_by(code_station) %>% # group by station
  filter(date_realisation == max(date_realisation)) %>% # select the last date
  ungroup() %>%  # ungroup data
  select(surface_bv_km2, continuite_ripisylve_rive_gauche,
         continuite_ripisylve_rive_droite, classe_ripisylve,
         nom_her_ou_dom_dominant, debit_plein_bord_m3_s,
         largeur_mouillee_qb_m) # select columns
print(head(carhyce_stat))

# A tibble: 6 × 7
  surface_bv_km2 continuite_ripisylve_…¹ continuite_ripisylve…² classe_ripisylve
           <dbl> <chr>                   <chr>                             <int>
1           75.1 continue                bosquets éparses                      3
2          400.  bosquets éparses        bosquets éparses                      4
3          128.  semi-continue           bosquets éparses                      4
4          102.  semi-continue           absence                               3
5          771.  semi-continue           bosquets éparses                      3
6          175.  semi-continue           isolée                                3
# ℹ abbreviated names: ¹​continuite_ripisylve_rive_gauche,
#   ²​continuite_ripisylve_rive_droite
# ℹ 3 more variables: nom_her_ou_dom_dominant <chr>,
#   debit_plein_bord_m3_s <dbl>, largeur_mouillee_qb_m <dbl>

Synthèse analyses univariées

Paramètres de position et de dispersion

Calcul des paramètres pour les surfaces de bassins versants des stations CARHYCE.

summary(carhyce_stat$surface_bv_km2)

    Min.  1st Qu.   Median     Mean  3rd Qu.     Max.     NA's 
    0.00    20.96    73.29   380.30   202.72 71139.83        1 

Interprétation

La moyenne est près de 5 fois plus élevé que la médiane, elle est même bien plus élevée que le 3ème quartile. La distribution est donc asymétrique à droite. Nous avons probablement des valeurs extrêmes qui rendent cette moyenne particulièrement élevée. Le mininum est de 0, on ne peut pas avoir de surface de bassin versant nulle, il y a probablement des erreurs. De même le maximum est supérieur à 70 000 km2, le protocole CARHYCE est surtout réalisé sur des petits cours d’eau et à pied, ce maximum représente plus du double du bassin versant de la Loire.

Histogramme

Représentation des effectifs ou fréquences d’une variable quantitative divisée en classes.

# Histogram
hist(carhyce_stat$surface_bv_km2, 
     main = "Surfaces de bassins versants", 
     xlab = "Surface de bassins versants (km2)", col = "lightblue")

Interprétation

La distribution est très dissymétrique à droite. Cet histogramme ne permet pas de bien représenter la distribution à cause des valeurs extrêmes.

Niveau de dissymétrie

Boxplot / boîte à moustache

# Boxplot
boxplot(carhyce_stat$surface_bv_km2, 
        main = "Surfaces de bassins versants", 
        ylab = "Surface de bassins versants (km2)", col = "lightblue")
points(1,mean(carhyce_stat$surface_bv_km2,na.rm=T),pch=16,col="red")

Discrétiser une variable quantitative

• Règle de Sturges : méthode de détermination du nombre de classes à utiliser dans un histogramme => avoir un nombre de classes qui soit à la fois suffisamment grand pour capturer la structure de la distribution des données, mais pas trop grand pour ne pas perdre de sensibilité dans la visualisation.

• En pratique, il est souvent recommandé de tester plusieurs nombres de classes et de choisir celui qui offre la meilleure représentation visuelle des données tout en préservant leur structure.

• Autres méthodes :

  • Effectifs égaux : par exemple les quantiles
  • Intervalles égaux : par exemple une classe toute les X unités
  • Par seuil de valeurs : par exemple les classes de granulométrie

Discrétisation “manuelle”

Par la règle de Sturges

bins <- nclass.Sturges(carhyce_stat$surface_bv_km2) # set breaks with Sturges
carhyce_stat$surface_bv_km2_sturges <- cut(carhyce_stat$surface_bv_km2, 
                                           breaks = bins, 
                                           include.lowest = TRUE, 
                                           right = FALSE) # new column with breaks

Par seuil de valeurs

carhyce_stat$surface_bv_km2_breaks <- cut(carhyce_stat$surface_bv_km2, 
                                          breaks = c(0, 50, 100, 500, Inf), 
                                          labels = c("petit", "moyenne", "grand", "très grand"))

Changement de discrétisation et outliers

# plotly interactive histogram with 1000 breaks
plot_ly(x = carhyce_stat$surface_bv_km2, type = "histogram", nbinsx = 1000)

Les outliers ou valeurs extrêmes

• Valeurs extrêmes qui ne suivent pas la distribution générale des données.
• Peuvent être des erreurs de mesure, des valeurs aberrantes ou des valeurs extrêmes.
• Peuvent fausser les résultats des analyses statistiques qui ne seront plus représentatives de la population.
• Rend la lecture et l’interprétation des graphiques difficiles.

=> Nécessite une vraie réflexion sur leur origine et leur pertinence dans la suite des analyses statistiques.

Retrait des valeurs extrêmes

# keep the data below the 90th percentile and above 0
carhyce_stat <- carhyce_stat %>% 
  filter(surface_bv_km2 < quantile(carhyce_stat$surface_bv_km2, 0.90, na.rm = TRUE)) %>% 
  filter(surface_bv_km2 > 0)

# Histogram with normal curve
h <- hist(carhyce_stat$surface_bv_km2, col = "lightblue", 
          main = "Surface des bassins versants", 
          xlab = "Surface de bassins versants (km2)") 
xfit <- seq(min(carhyce_stat$surface_bv_km2),
            max(carhyce_stat$surface_bv_km2), length = 40) 
yfit <- dnorm(xfit, mean = mean(carhyce_stat$surface_bv_km2), sd = sd(carhyce_stat$surface_bv_km2)) 
yfit <- yfit * diff(h$mids[1:2]) * length(carhyce_stat$surface_bv_km2) 
lines(xfit, yfit, col = "red", lwd = 2)

# Boxplot
boxplot(carhyce_stat$surface_bv_km2, 
        main = "Surfaces de bassins versants", 
        ylab = "Surface de bassins versants (km2)", 
        col = "lightblue", range = 0)
points(1,mean(carhyce_stat$surface_bv_km2,na.rm=T),pch=16,col="red")

Loi normale ou loi de Gauss

• Distribution symétrique centrée sur la moyenne dont la forme est déterminée par l’écart-type.

Définie par une fonction de probabilité :

• Environ 68% des valeurs sont comprises entre \(\mu - \sigma\) et \(\mu + \sigma\).

• 95% des valeurs sont comprises entre \(\mu - 1.96\sigma\) et \(\mu + 1.96\sigma\).

• Très utilisées dans les tests statistiques ou la description de phénomènes aléatoires.

Coefficient d’asymétrie de Fisher

# skewness
e1071::skewness(carhyce_stat$surface_bv_km2, na.rm = TRUE, type = 1) # type 1 = Fisher

[1] 1.561262

Coefficient d’aplatissement de Fisher

# kurtosis
e1071::kurtosis(carhyce_stat$surface_bv_km2, na.rm = TRUE, type = 1) # type 1 = Fisher

[1] 1.801173

QQ-plot ou diagramme quantile-quantile

On compare les valeurs des quantiles de la distribution observée (ordonnées) aux valeurs des quantiles pour une loi normale de moyenne et d’écart-type de la distribution (abscisse).

• Normale
• Diss. gauche
• Diss. droite
• Homogène
• Concentrée
• Bimodale

plot_dist(normal, "Normale")

plot_dist(skew_left, "Dissymétrie à Gauche")

plot_dist(skew_right, "Dissymétrie à Droite")

plot_dist(light_tail, "Homogène (light tailed)")

plot_dist(heavy_tail, "Concentrée (heavy tailed)")

plot_dist(bimodal, "Bimodale")

QQ-plot - exemple

# QQ-plot
ggplot(data = carhyce_stat, mapping = aes(sample = surface_bv_km2)) +
  stat_qq_band() +
  stat_qq_line() +
  stat_qq_point() +
  labs(title = "QQ-plot de la surface des bassins versants", x = "Quantiles théoriques", y = "Quantiles observés")

Interprétation

La courbe montre beaucoup de faibles valeurs (pente faible de -200 à 100) puis peu de valeurs élevées (forte augmentation de la pente de 100 à 400). La distribution montre ainsi une forte dissymétrie à droite

Tests statistiques ? - Principe

• Je lance une pièce de monaie 5 fois et elle tombe 5 fois sur pile => 🤔 la pièce doit être truquée…. A partir de combien de pile à la suite je peux considérer que la pièce est truquée?

• Partons d’une hypothèse : La pièce est bien équilibrée (ou j’ai 50% de chance d’avoir pile ou face).

Je vais donc calculer la probabilité d’obtenir 5 fois pile si la pièce est équilibrée (ou dans les conditions de l’hypothèse). Je considère que si la probabilité d’obtenir 5 fois pile est inférieure à 5%, je peux rejeter l’hypothèse que la pièce est équilibrée.

La loi binomiale permet de calculer ces probabilités. J’ai 3% de chance d’obtenir 5 fois pile si la pièce est équilibrée. Je peux donc rejeter l’hypothèse que la pièce est équilibrée tout en sachant que j’ai 5% de chance de me tromper. 5% est donc le risque (arbitraire) que j’ai décidé à priori, que la pièce soit équilibrée alors que j’affirme que la pièce est truquée.

Tests statistiques ? - test d’adéquation

Partons d’une hypothèse :

• \(H_0\) : la distribution suit une loi normale.
• \(H_1\) : la distribution ne suit pas une loi normale.

Quel est la probabilité d’obtenir notre distribution observée si la distribution était normale?

On compare notre distribution observée à une distribution théorique (ici la loi normale). Si notre distribution observée à très peu de chance d’être obtenue si la distribution était normale, on peut rejeter \(H_0\). Si nos observations appartiennent aux résultats qui ont une chance d’être obtenus si \(H_0\) est vraie, on peut accepter \(H_0\) (ou \(H_0\) reste crédible).

Le “très peu de chance” est représenté par le risque \(\alpha\) (seuil de significativité ou risque de premier espèce), souvent de 5%. Si la probabilité d’obtenir notre distribution observée est inférieure à 5% si la distribution était normale, on peut rejeter \(H_0\). On peut choisir un risque \(\alpha\) plus faible selon notre confiance dans nos résultats et l’enjeu du risque. Imaginez que l’on teste l’efficacité d’un médicament d’une maladie grave… as t’on envie d’avoir 1 chance sur 20 de se tromper?

Tests statistiques ? - p-value

• Tous les tests se concluent par une p-value. On la compare au seuil de significativité \(\alpha\) annoncée avant le test.

• Interprétation de la p-value : \(p=0.15\) signifie que l’on a 15% de chance d’obtenir les données observées si \(H_0\) est vraie (ou si la distribution était normale). \(p\) n’est pas un risque de se tromper mais une mesure de la significativité du résultat (ou une probabilité à postériori). Le risque de se tromper se choisi à priori et non à postériori du test.

• p-value < \(\alpha\) : on rejette \(H_0\) et on accepte \(H_1\) avec le riques de se tromper de \(\alpha\). La différence observée est significative.

• p-value > \(\alpha\) : on accepte \(H_0\) mais on ne peut pas dire que \(H_0\) est vraie 🤯.

Petite subtilité, le fait d’accepter \(H_0\) ne signifie pas que \(H_0\) soit vraie, mais que sur la base des données observées rien ne permet de conclure qu’elle soit fausses.

Tests statistiques ? - erreur!

Lors d’un test statistique, on peut faire deux types d’erreurs :

• Erreur de type I : Risque de rejeter \(H_0\) alors qu’elle est vraie. Risque \(\alpha\) => on affirme une différence alors qu’en réalité il n’y en a pas.
• Erreur de type II : Risque de ne pas rejeter \(H_0\) alors qu’elle est fausse. Risque \(\beta\) => on accepte qu’il n’y a pas de différence alors qu’en réalité il y en a une. On se sait pas calculer ce risque, on ne peut donc pas affirmer \(H_0\).

Le risque \(\beta\) est d’autant plus petit que l’échantillon est important. La puissance d’un test, \(1 - \beta\), est la probabilité de rejeter \(H_0\) alors qu’elle est fausse. Pour détecter une faible différence, il faut un test puissant, soit un échantillon suffisamment grand (voir la vidéo de Tierry Ancelle pour une très bonne illustration).

Tests statistiques ? - ressources

Des vidéos très pédagogiques de Tierry Ancelle :

• Principes des tests statistiques
• Le petit p

Sur la description, l’histoire et l’utilisation des tests statistiques :

• L’ouvrage en ligne de Denis Poinsot “Les statistiques pour les statophobes” (2004)

Test de normalité - précaution / utilisation

• Les tests de normalité sont sensibles à la taille de l’échantillon :
  • Pour un échantillon de taille réduite, les tests de normalité peuvent être biaisés.
  • Pour un échantillon de taille importante, les tests de normalité peuvent être trop sensibles.
• Souvent utilisé au prélable d’autres tests statistiques dit paramétriques :
  • Shapiro-Wilk => meilleur pour de petits échantillons (<2000)
  • Kolmogorov-Smirnov => grands échantillons (>2000)
  • Anderson-Darling => grands échantillons (>2000)

Test de normalité

• Shapiro-Wilk
• Anderson-Darling
• Kolmogorov-Smirnov

shapiro.test(carhyce_stat$surface_bv_km2)

    Shapiro-Wilk normality test

data:  carhyce_stat$surface_bv_km2
W = 0.79781, p-value < 2.2e-16

ad.test(carhyce_stat$surface_bv_km2)

    Anderson-Darling normality test

data:  carhyce_stat$surface_bv_km2
A = 156.87, p-value < 2.2e-16

ks.test(carhyce_stat$surface_bv_km2, "pnorm", mean = mean(carhyce_stat$surface_bv_km2), sd = sd(carhyce_stat$surface_bv_km2))

    Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test

data:  carhyce_stat$surface_bv_km2
D = 0.18575, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: two-sided

• \(H_0\) : la variable suit une distribution normale.

• \(H_1\) : la variable ne suit pas une distribution normale.

• p-value = 2.2e-16 < 0.05, on peut rejeter \(H_0\) et valider \(H_1\) avec une probabilité de se tromper de 5%.

Distribution des classes de ripisylve - Carhyce

¹

1. Gob F., Thommeret N., Bilodeau C., Tamisier V., Duval E., Legentil C., Grancher D., Raufaste S., Baudoin J-M. et Kreutzenberger K., Interface d’exploitation des données Carhyce [en ligne], Laboratoire de Géographie Physique – OFB https://analytics.huma-num.fr/ied_carhyce/ Consultée le 03/08/2024.

Distribution des classes de ripisylve

# Table
print(table(carhyce_stat$classe_ripisylve))

  1   2   3   4 
162 467  74 244 

# Create a frequency table
freq_table <- carhyce_stat %>%
  group_by(classe_ripisylve) %>%
  summarise(count = n()) %>%
  mutate(freq_percent = count / sum(count) * 100,
         cum_freq = cumsum(count),
         cum_freq_percent = cumsum(freq_percent))
print(freq_table)

# A tibble: 5 × 5
  classe_ripisylve count freq_percent cum_freq cum_freq_percent
             <int> <int>        <dbl>    <int>            <dbl>
1                1   162         6.95      162             6.95
2                2   467        20.0       629            27.0 
3                3    74         3.18      703            30.2 
4                4   244        10.5       947            40.6 
5               NA  1383        59.4      2330           100   

Diagramme en secteur

# Pie chart
pie(table(carhyce_stat$classe_ripisylve), main = "Répartition des classes de ripisylve")

Cheat code exploration de données

print(skim(carhyce_stat$surface_bv_km2))

── Data Summary ────────────────────────
                           Values                      
Name                       carhyce_stat$surface_bv_k...
Number of rows             2330                        
Number of columns          1                           
_______________________                                
Column type frequency:                                 
  numeric                  1                           
________________________                               
Group variables            None                        

── Variable type: numeric ──────────────────────────────────────────────────────
  skim_variable n_missing complete_rate mean   sd    p0  p25  p50  p75 p100
1 data                  0             1 103. 115. 0.001 18.4 58.3 142. 519.
  hist 
1 ▇▂▁▁▁

# makeDataReport(carhyce_stat)

Statistiques bivariées

Objectifs

• Pouvoir décrire la relation qui peut exister entre deux variables.
• Utiliser les bons outils selon la nature des variables à comparer.
• Evaluer le type, l’intensité et le sens d’une relation entre deux variables quantitatives.

Reprenons nos données

carhyce_stat <- carhyce %>% 
  # select the last date for each station
  group_by(code_station) %>% # group by station
  filter(date_realisation == max(date_realisation)) %>% # select the last date by group
  ungroup() %>%  # ungroup data
  filter(surface_bv_km2 < quantile(carhyce$surface_bv_km2, 0.90, na.rm = TRUE)) %>% # keep surface_bv_km2 data below the 90th percentile
  filter(debit_plein_bord_m3_s < quantile(carhyce$debit_plein_bord_m3_s, 0.95, na.rm = TRUE)) %>%
  filter(largeur_mouillee_qb_m < quantile(carhyce$largeur_mouillee_qb_m, 0.975, na.rm = TRUE)) %>%
  filter(vitesse_moyenne_qb_m_s < quantile(carhyce$vitesse_moyenne_qb_m_s, 0.975, na.rm = TRUE)) %>%
  filter(d50_mm < quantile(carhyce$d50_mm, 0.99, na.rm = TRUE)) %>%
  # group categories continuite_ripisylve_rive_gauche and continuite_ripisylve_rive_droite :"espacée" = "bosquets éparses" + "espacée-régulière" + "isolée"
  mutate(continuite_ripisylve_rive_gauche = ifelse(continuite_ripisylve_rive_gauche %in% c("bosquets éparses", "espacée-régulière", "isolée"), "espacée", continuite_ripisylve_rive_gauche),
         continuite_ripisylve_rive_droite = ifelse(continuite_ripisylve_rive_droite %in% c("bosquets éparses", "espacée-régulière", "isolée"), "espacée", continuite_ripisylve_rive_droite)) %>%
  # select columns
  select(surface_bv_km2, 
         continuite_ripisylve_rive_gauche,
         continuite_ripisylve_rive_droite,
         debit_plein_bord_m3_s,
         largeur_mouillee_qb_m,
         vitesse_moyenne_qb_m_s,
         d50_mm,
         nombre_transect) # select columns

Qualitatif VS qualitatif - Tableau de contingence

Distribution jointe de deux variables qualitatives (ou quantitatives discrétisées)

On compte les individus pour chaque modalité des deux variables

Distribution conditionnelle :

- en ligne : quelle distribution de X des cours d’eau normand

- en colonne : quelle distribution de Y des cours d’eau de bonne qualité

Tableau de contingence

• Rbase
• gmodels effectifs

# Rbase method contingency table
tab <- table(carhyce_stat$continuite_ripisylve_rive_gauche, carhyce_stat$continuite_ripisylve_rive_droite)
tab_mag <- addmargins(tab) # margins (effectifs marginaux)
print(tab_mag)

               
                absence continue espacée semi-continue  Sum
  absence           102       14      32             5  153
  continue            7      451      44           100  602
  espacée            25       71     280           116  492
  semi-continue      13      128     119           327  587
  Sum               147      664     475           548 1834

contingency_table <- CrossTable(carhyce_stat$continuite_ripisylve_rive_gauche, 
                                 carhyce_stat$continuite_ripisylve_rive_droite, 
                                 prop.chisq = FALSE, prop.t = TRUE, prop.r = TRUE, prop.c = TRUE)

print(contingency_table$t)

               y
x               absence continue espacée semi-continue
  absence           102       14      32             5
  continue            7      451      44           100
  espacée            25       71     280           116
  semi-continue      13      128     119           327

Effectif partiels (fréquence)

• total
• ligne
• colonne

Effectifs partiels sur effectif total (le total des fréquences = 1) : X% des individus appartiennent aux modalités truc et bidule ou X % des cours d’eau ont une eau de bonne qualité et sont en Normandie ou 3.9% des stations on une ripisylve espacée en rive gauche et continue en rive droite

addmargins(prop.table(table(carhyce_stat$continuite_ripisylve_rive_gauche, 
                 carhyce_stat$continuite_ripisylve_rive_droite))*100)

               
                    absence    continue     espacée semi-continue         Sum
  absence         5.5616140   0.7633588   1.7448201     0.2726281   8.3424209
  continue        0.3816794  24.5910578   2.3991276     5.4525627  32.8244275
  espacée         1.3631407   3.8713195  15.2671756     6.3249727  26.8266085
  semi-continue   0.7088332   6.9792803   6.4885496    17.8298800  32.0065431
  Sum             8.0152672  36.2050164  25.8996728    29.8800436 100.0000000

# or print(round(contingency_table$prop.tbl, 3))

Effectifs partiels sur effectif marginal (fréquence conditionnelle, le total de chaque ligne = 1) : X% des cours d’eau Normands ont une eau de mauvaise qualité ou 14.4% des stations avec une ripisylve espacée en rive gauche ont une ripisylve continue en rive droite

addmargins(prop.table(table(carhyce_stat$continuite_ripisylve_rive_gauche, 
                 carhyce_stat$continuite_ripisylve_rive_droite), margin = 1)*100, 
           margin = 2)

               
                   absence   continue    espacée semi-continue        Sum
  absence        66.666667   9.150327  20.915033      3.267974 100.000000
  continue        1.162791  74.916944   7.308970     16.611296 100.000000
  espacée         5.081301  14.430894  56.910569     23.577236 100.000000
  semi-continue   2.214651  21.805792  20.272572     55.706985 100.000000

# or print(round(contingency_table$prop.row, 3))

Effectifs partiels sur effectif marginal (fréquence conditionnelle, le total de chaque colonne = 1) : X% des cours d’eau de bonne qualité sont Normands ou 8.8% des stations avec une absence de ripisylve en rive droite ont une ripisyle semi-continue en rive gauche

addmargins(prop.table(table(carhyce_stat$continuite_ripisylve_rive_gauche, 
                 carhyce_stat$continuite_ripisylve_rive_droite), margin = 2)*100, 
           margin = 1)

               
                    absence    continue     espacée semi-continue
  absence        69.3877551   2.1084337   6.7368421     0.9124088
  continue        4.7619048  67.9216867   9.2631579    18.2481752
  espacée        17.0068027  10.6927711  58.9473684    21.1678832
  semi-continue   8.8435374  19.2771084  25.0526316    59.6715328
  Sum           100.0000000 100.0000000 100.0000000   100.0000000

# or print(round(contingency_table$prop.col, 3))

Diagramme en barre et mosaique

• Groupé
• Empilé
• Mosaique

ggplot(carhyce_stat, aes(x=factor(continuite_ripisylve_rive_gauche), fill=factor(continuite_ripisylve_rive_droite))) +
  geom_bar(position = "dodge") +
  labs(x = "Ripisylve rive gauche", y = "Effectif", fill = "Ripisylve rive droite") +
  theme_minimal()

Interprétation

La continuité de la ripisyle des stations en rive droite est généralement identique en rive gauche.

ggplot(carhyce_stat, aes(x=factor(continuite_ripisylve_rive_gauche), fill=factor(continuite_ripisylve_rive_droite))) +
  geom_bar(position = "stack") +
  labs(x = "Ripisylve rive gauche", y = "Effectif", fill = "Ripisylve rive droite") +
  theme_minimal()

mosaicplot(table(carhyce_stat$continuite_ripisylve_rive_gauche, carhyce_stat$continuite_ripisylve_rive_droite), xlab = "Rive gauche", ylab = "Rive droite", main = "")

Test du Chi2 d’indépendance

• Vérifier un lien de dépendance statistiquement significatif entre deux variables qualitatives.

• Conditions d’application :

  • Les variables doivent être qualitatives.
  • Les effectifs combinés des modalités des variables \(\geq\) 5 (du moins pour 80% des effectifs joints).

• Hypothèses :

  • \(H_0\) : les variables sont indépendantes.
  • \(H_1\) : les variables sont dépendantes.

Chi2 - calcul des effectifs attendus.

Tableau de contingence observé :

               
                absence continue espacée semi-continue  Sum
  absence           102       14      32             5  153
  continue            7      451      44           100  602
  espacée            25       71     280           116  492
  semi-continue      13      128     119           327  587
  Sum               147      664     475           548 1834

• Quelles sont les effectifs joints attendus si les deux variables sont indépendantes ?

• Les effectifs attendus suivent la distribution marginale des variables pour respecter les répartitions totales de chaque variable.

• La formule est le produit des effectifs marginaux divisés par le total des effectifs.

Chi2 - calcul des effectifs attendus.

Tableau de contingence observé :

               
                absence continue espacée semi-continue  Sum
  absence           102       14      32             5  153
  continue            7      451      44           100  602
  espacée            25       71     280           116  492
  semi-continue      13      128     119           327  587
  Sum               147      664     475           548 1834

Exemple :

• Le nombre de stations avec une ripisyle espacée en rive gauche doit rester de 492 (effectif marginal) mais peut être réparti différemment dans les modalités de la rive droite.

• L’effectif joint attendu entre espacée en rive gauche et continue en rive droite : \(\frac{492 \times 664}{1834} = 178\)

Chi2 - Détails de calcul

• Effectif attendu pour chaque case :

\(E_{ij} = \frac{(Effectif\;ligne_i) \times (Effectif\;colonne_j)}{Effectif\;total}\)

• Calcul du \(\chi^2\) :

\(\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}\) avec \(O_{ij}\) l’effectif observé et \(E_{ij}\) l’effectif attendu.

• Degré de liberté :

\(ddl = (nombre\;de\;lignes - 1) \times (nombre\;de\;colonnes - 1)\)

Chi2 - effectif calculé sous \(H_0\)

• Effectif attendus
• \(\chi^2\) et dl

# run chi2 test
chi2_ripisylve <- chisq.test(table(carhyce_stat$continuite_ripisylve_rive_gauche, carhyce_stat$continuite_ripisylve_rive_droite))
print(round(chi2_ripisylve$expected[,1:4], 0))

               
                absence continue espacée semi-continue
  absence            12       55      40            46
  continue           48      218     156           180
  espacée            39      178     127           147
  semi-continue      47      213     152           175

# chi2 value and ddl
cat("Chi2 =", round(chi2_ripisylve$statistic, 2), "\n", "ddl =", chi2_ripisylve$parameter)

Chi2 = 1580.97 
 ddl = 9

Le \(\chi^2\) représente la différence des deux tables que l’on compare au \(\chi^2\) critique pour déterminer si on peut rejeter \(H_0\) pour un risque \(\alpha\) donné. Si \(\chi^2\) > \(\chi^2_{95} critique\) (quantile à 95% par exemple), on rejette \(H_0\). Voir table de \(\chi^2\) par Fabrice Larribe

Chi2 - interprétation

chisq.test(table(carhyce_stat$continuite_ripisylve_rive_gauche,
                 carhyce_stat$continuite_ripisylve_rive_droite))

    Pearson's Chi-squared test

data:  table(carhyce_stat$continuite_ripisylve_rive_gauche, carhyce_stat$continuite_ripisylve_rive_droite)
X-squared = 1581, df = 9, p-value < 2.2e-16

• La p-value représente la probabilité d’obtenir un résultat aussi extrême que celui observé, dans les conditions de \(H_0\).

• Cette situation est très improbable, une probabilité de \(2.2e-16\). Même avec un risque \(\alpha = 1%\) l’hypothèse nulle aurait été rejetée.

Qualitatif VS Quantitatif - Discrétisation

Discrétiser une variable quantitative, exemple par seuil de valeurs.

# create breaks [0,5), [5,10), [10,20), [20,30), [30,40), [>40]
largeurs_breaks <- c(0, 5, 10, 20, 30, 40, Inf)
carhyce_stat$largeur_mouillee_qb_m_breaks <- cut(carhyce_stat$largeur_mouillee_qb_m, 
                                                  breaks = largeurs_breaks, 
                                                  include.lowest = TRUE, 
                                                  right = FALSE) # new column with breaks
tab <- table(carhyce_stat$continuite_ripisylve_rive_gauche, carhyce_stat$largeur_mouillee_qb_m_breaks) # contingency table
addmargins(tab) # with margins (effectifs marginaux)

               
                [0,5) [5,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,Inf]  Sum
  absence          72     52      26       3       0        0  153
  continue        112    220     206      50      13        1  602
  espacée         108    203     145      28       7        1  492
  semi-continue    93    224     211      43      13        3  587
  Sum             385    699     588     124      33        5 1834

Description de la distribution par modalité

• Indicateurs
• Boxplot

summary_table <- carhyce_stat %>%
  group_by(continuite_ripisylve_rive_gauche) %>% 
  dplyr::summarize(
    Mean = mean(largeur_mouillee_qb_m, na.rm = TRUE),
    Median = median(largeur_mouillee_qb_m, na.rm = TRUE),
    StdDev = sd(largeur_mouillee_qb_m, na.rm = TRUE)
  )
print(summary_table)

# A tibble: 5 × 4
  continuite_ripisylve_rive_gauche  Mean Median StdDev
  <chr>                            <dbl>  <dbl>  <dbl>
1 absence                           6.77   5.34   4.75
2 continue                         10.9    9.05   7.02
3 espacée                           9.76   8.19   6.47
4 semi-continue                    11.2    9.50   7.09
5 <NA>                             11.5   11.5    5.75

ggplot(carhyce_stat, aes(x = factor(continuite_ripisylve_rive_gauche), y = largeur_mouillee_qb_m, fill = factor(continuite_ripisylve_rive_gauche))) +
  geom_boxplot() +
  labs(x = "Ripisylve rive gauche", y = "Largeur mouillée (m)", fill = "Ripisylve rive gauche") +
  theme_minimal()

Quantitatif VS quantitatif

La représentation par nuage de point. Où est la variable explicative et la variable expliquée ?

plot <- ggplot(carhyce_stat, aes(x = debit_plein_bord_m3_s, y = largeur_mouillee_qb_m)) +
  geom_point() +
  labs(x = "Débit de plein bord (m3/s)", y = "Largeur mouillée plein bord (m)") +
  theme_minimal()
  # + geom_smooth(method="lm", col="red") # décommenter cette ligne pour ajouter la régression linéaire
plot

Régression ?

• Linéaire
• Polynomiale
• Logarithmique

plot + geom_smooth(method="lm", col="red")

plot + geom_smooth(method="lm", col="red", formula = y ~ poly(x, 2))

plot + geom_smooth(method="lm", col="red", formula = y ~ log(x) + x)

Covariance

Evalue dans quelle mesure les variations de deux variables sont simultanées ou non.

• “+” : les écarts entre les valeurs et leur moyenne ont tendance à être de même signe.
• “-” : les écarts entre les valeurs et leur moyenne ont tendance à être de signe opposé.
• “0” : les écarts entre les \(Xi\) et leur moyenne et les écarts entre les \(Yi\) et leur moyenne n’ont aucun lien entre eux.

Attention :

• Sa dimension est le produit des dimensions des variables (e.g. euros et années), elle est donc difficile à interpréter.

• Davantage un outil qui permet d’effectuer d’autres calculs comme la corrélation de Pearson qu’un indicateur utilisé pour l’interprétation (c’est un peu comme la variance et l’écart type).

Coefficient de corrélation linéaire de Pearson

Evalue le degré de dépendance linéaire entre deux variables quantitatives. Le résultat dépend de la qualité de l’ajustement affine obtenu par une régression linéaire.

Intensité :

• \(r\) proche de 1 (ou -1) = forte corrélation linéaire des variables
• \(r\) proche de 0 = indépendance des variables

Sens de la relation :

• \(r>0\) = les variables évoluent dans le même sens
• \(r<0\) = les variables évoluent dans le sens opposé.

⚠️ Corrélation \(\neq\) causalité! Quelques beaux exemples

⚠️ Multicolinéarité, quand plusieurs variables explicatives ont des liens de corrélation entre elles!

Quelques exemples de corrélation

Le Quartet d’Anscombe

- ⚠️ La relation doit être de forme linéaire

- ⚠️ Sensibilité aux valeurs extrêmes

• Moralité : toujours visualiser les données avant de les analyser ! 🧐

Coefficient de corrélation de Spearman

• C’est le coefficient de Pearson appliqué aux rangs des variables.

• Similaire au coefficient de Pearson mais ne suppose pas de relation linéaire entre les variables. Il évalue la relation monotone, qui ont tendance à se déplacer dans la même direction relative, entre deux variables indépendamment de la forme.

• L’interprétation est similaire à celle du coefficient de Pearson.

Calcul des coefficients de corrélation

# r Pearson correlation
print(paste0("r = ", round(cor.test(carhyce_stat$largeur_mouillee_qb_m, carhyce_stat$debit_plein_bord_m3_s, method = "pearson")$estimate, 2)))

[1] "r = 0.67"

# rho Spearman correlation
print(paste0("rho = ", round(cor.test(carhyce_stat$largeur_mouillee_qb_m, carhyce_stat$debit_plein_bord_m3_s, method = "spearman")$estimate, 2)))

[1] "rho = 0.76"

Intérêt de calculer les deux coefficients :

• r>\(\rho\) : présence éventuelle de valeurs exceptionnelles.
• r<\(\rho\) : présence éventuelle d’une relation non linéaire.

Coefficient de détermination

Le coefficient de détermination détermine le pourcentage de variation de Y imputable à X.

\(R^2\)% des variations de Y s’expliquent par X.

Par exemple si \(R^2 = 0.35\), 35% des variations de la largeur mouillée s’expliquent par le débit.

⚠️ Ne s’applique pas qu’aux modèles linéaires !

ℹ️ Je vous recommande l’explication en vidéo de Tierry Ancelle sur le sujet

Résidus

Les résidus sont les différences entre les valeurs observées et les valeurs prédites par le modèle. Plus ils sont faibles plus le modèle arrive à correctement représenter les données. La dispersion des résidus autour de zéro est un indicateur de la qualité du modèle.

Homosédasticité vs Hétérosédasticité

• Homosédasticité : la qualité du modèle est constante quelque soit la valeur de la variable explicative.
• Hétérosédasticité : la qualité du modèle varie en fonction de la valeur de la variable explicative.

Lire le résultat d’un modèle de régression linéaire

model_lineaire <- lm(largeur_mouillee_qb_m ~ debit_plein_bord_m3_s, 
                     data = carhyce_stat)
summary(model_lineaire)

Call:
lm(formula = largeur_mouillee_qb_m ~ debit_plein_bord_m3_s, data = carhyce_stat)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-24.590  -3.285  -0.901   1.963  38.993 

Coefficients:
                      Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)            7.54261    0.13910   54.22   <2e-16 ***
debit_plein_bord_m3_s  0.38682    0.01006   38.44   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 5.09 on 1834 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.4462,    Adjusted R-squared:  0.4459 
F-statistic:  1478 on 1 and 1834 DF,  p-value: < 2.2e-16

• Résidus : différence entre les valeurs observées et les valeurs prédites.

• Erreur standard des résidus : écart-type des résidus (ou la dispersion autour de la droite)

• Coefficients du modèle avec erreur standard et test de significativité :

  • Intercept : l’ordonnée à l’origine
  • Variable : la pente

• R-squared : coefficient de détermination

• R-squared ajusted : R2 ajusté en fonction du nombre de variables explicatives

• F-statistic (ou test de Fisher) : test global de significativité du modèle

Interprétation des résultats du modèle

model_lineaire <- lm(largeur_mouillee_qb_m ~ debit_plein_bord_m3_s, 
                     data = carhyce_stat)
summary(model_lineaire)

Call:
lm(formula = largeur_mouillee_qb_m ~ debit_plein_bord_m3_s, data = carhyce_stat)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-24.590  -3.285  -0.901   1.963  38.993 

Coefficients:
                      Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)            7.54261    0.13910   54.22   <2e-16 ***
debit_plein_bord_m3_s  0.38682    0.01006   38.44   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 5.09 on 1834 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.4462,    Adjusted R-squared:  0.4459 
F-statistic:  1478 on 1 and 1834 DF,  p-value: < 2.2e-16

Interprétation

- La médiane des résidus est plutôt proche de 0 et les quartiles entre -3 et 2.Le modèle a tendance à sous-estimer légèrement les données observées, et 50% des valeurs observées sont relativement bien ajustée. L’erreur standard de 5m montre des écarts plus fort à la moyenne et donc de nombreuses observations moins bien prédites par le modèle.

- Le modèle prend la forme de l’équation \(largeur = 7.54+0.39*Débit\) Les coefficients ont de faibles dispersions et une forte significativité, de même que le test de Fisher. Il existe bien une relation linéaire significative de la largeur en fonction du débit.

- Le coefficient de détermination est de 0.44, soit 44% des variations de la largeur s’expliquent par le débit. Ce modèle linéaire sur le débit permet donc d’expliquer une partie importante de la variation de largeur mais d’autres variables sont nécessaire pour expliquer le reste des variations.

Comparaison des modèles régressions

• Linéaire
• Polynomiale
• Logarithmique

model_lineaire <- lm(largeur_mouillee_qb_m ~ debit_plein_bord_m3_s, data = carhyce_stat)
# equation
print(paste0("y = ", round(coef(model_lineaire)[1], 2), " + ", round(coef(model_lineaire)[2], 2), "x"))

[1] "y = 7.54 + 0.39x"

# R2
print(paste0("R2 = ", round(summary(model_lineaire)$r.squared, 2)))

[1] "R2 = 0.45"

# Residual standard error
print(paste0("S = ", round(summary(model_lineaire)$sigma, 2)))

[1] "S = 5.09"

# polynomial model (degree 2)
model_poly <- lm(largeur_mouillee_qb_m ~ poly(debit_plein_bord_m3_s, 2), data = carhyce_stat)
# equation
print(paste0("y = ", round(coef(model_poly)[1], 2), " + ", round(coef(model_poly)[2], 2), "x + ", round(coef(model_poly)[3], 2), "x^2"))

[1] "y = 10.32 + 195.67x + -71.08x^2"

# Residual standard error
print(paste0("S = ", round(summary(model_poly)$sigma, 2)))

[1] "S = 4.81"

# logarithmic model
model_log <- lm(largeur_mouillee_qb_m ~ log(debit_plein_bord_m3_s), data = carhyce_stat)
# equation
print(paste0("y = ", round(coef(model_log)[1], 2), " + ", round(coef(model_log)[2], 2), "log(x)"))

[1] "y = 7.91 + 2.81log(x)"

# Residual standard error
print(paste0("S = ", round(summary(model_log)$sigma, 2)))

[1] "S = 4.99"

Analyse des résidus

• Linéaire
• Polynomiale
• Logarithmique

plot(model_lineaire, which = 1)

plot(model_poly, which = 1)

plot(model_log, which = 1)

Les résidus doivent être dispersés aléatoirement autour de zéro. La présence d’une tendance (linéaire ou non) indique des effets systématiques ignorés par le modèle. Le modèle est hétéroscédastique, sa qualité est moindre pour les valeurs les plus élevées. Le modèle a tendance à sous-estimer ces valeurs.

Normalité des résidus (modèle linéaire)

par(mfrow=c(1,2))
plot(model_lineaire, which = 2)
hist(model_lineaire$residuals, breaks = 100, main = "Histogramme des résidus", xlab = "Résidus")

Analyse de la normalité

La distribution des résidus présente une sureprésentation des valeurs fortes par rapport à une distribution normale, soit une dissymétrie à droite. Les valeurs les plus élevées sont moins bien ajustées par le modèle.

Régression linéaire multiple

Plusieurs variables explicatives pour une variable expliquée.

# multiple linear regression with two variables
model_multiple <- lm(largeur_mouillee_qb_m ~ debit_plein_bord_m3_s + 
                       d50_mm + nombre_transect, 
                     data = carhyce_stat)
# equation
print(paste0("y = ", round(coef(model_multiple)[1], 2), " + ", 
                round(coef(model_multiple)[2], 2), "x1 + ", 
                round(coef(model_multiple)[3], 2), "x2 + ", 
                round(coef(model_multiple)[4], 2), "x3"))

[1] "y = 3.65 + 0.35x1 + 0.05x2 + 0.12x3"

Régression linéaire multiple - interprétation

summary(model_multiple)

Call:
lm(formula = largeur_mouillee_qb_m ~ debit_plein_bord_m3_s + 
    d50_mm + nombre_transect, data = carhyce_stat)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-20.891  -2.992  -0.868   2.003  39.225 

Coefficients:
                      Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)           3.651732   2.678646   1.363    0.173    
debit_plein_bord_m3_s 0.350253   0.009882  35.444   <2e-16 ***
d50_mm                0.051730   0.003610  14.332   <2e-16 ***
nombre_transect       0.122337   0.177905   0.688    0.492    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 4.829 on 1832 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.5021,    Adjusted R-squared:  0.5013 
F-statistic: 615.8 on 3 and 1832 DF,  p-value: < 2.2e-16

Interprétation

• Les variables explicatives ont toutes un effet positif sur la largeur mouillée. L’ordonnée à l’origine et la coefficient directeur du nombre de transect ne sont pas significatif. Le nombre de transect est certainement à retirer de l’analyse dans ce contexte malgré le fait que la relation globale reste significative.
• Le débit, la granulométrie et le nombre de transect expliquent 50% de la variation de la largeur mouillée. La granulométrie est certainement un facteur explicatif pertinent mais le débit reste le facteur prédominant entre ces variables.
• Les résidus ont été faiblement réduits par rapport à la relation linéaire du débit seul.

Régression linéaire multiple - synthèse

  gtsummary::tbl_regression(model_multiple, intercept = TRUE)

Characteristic	Beta	95% CI	p-value
(Intercept)	3.7	-1.6, 8.9	0.2
debit_plein_bord_m3_s	0.35	0.33, 0.37	<0.001
d50_mm	0.05	0.04, 0.06	<0.001
nombre_transect	0.12	-0.23, 0.47	0.5
Abbreviation: CI = Confidence Interval

Régression linéaire multiple - graphique en forêt

# forest plot
ggstats::ggcoef_model(model_multiple)

Matrice de nuage de points

pairs(carhyce_stat[, c("debit_plein_bord_m3_s", "largeur_mouillee_qb_m", "d50_mm")])

Corrélations croisées

pearson <- cor(carhyce_stat[, c("debit_plein_bord_m3_s", "largeur_mouillee_qb_m", "d50_mm")], method = "pearson")
pearson

                      debit_plein_bord_m3_s largeur_mouillee_qb_m    d50_mm
debit_plein_bord_m3_s             1.0000000             0.6679936 0.2583632
largeur_mouillee_qb_m             0.6679936             1.0000000 0.4006824
d50_mm                            0.2583632             0.4006824 1.0000000

- Les corrélations linéaire les plus fortes sont entre le débit et la largeur mouillée. Le D50 est peu corrélé avec les autres variables (un peu avec la largeur mouillée).

- Si on prend la largeur mouillée comme variable expliquée, le débit et le D50 semblent être des variables explicatives intéressantes.

Corrélations croisées - graphique

corrplot(pearson, 
         type = "upper",
         diag = FALSE,
         tl.col = "dark grey",
         tl.srt = 45)

Comparaison de jeux de données

Hypothèses et problématiques

Hypothèses :

• Les stations CARHYCE sont représentatives de l’état des rivières françaises pour les petits bassins versants (<100 km2).
• Je peux distinguer les stations de montagne des stations de plaine par leur classification géographique.

Problématiques :

• Les rivières de montagne ont-elles des caractéristiques différentes des rivières de plaine pour les petits bassins versants ?

Reprenons nos données

carhyce_stat <- carhyce %>% 
  # select the last date for each station
  group_by(code_station) %>% # group by station
  filter(date_realisation == max(date_realisation)) %>% # select the last date by group
  ungroup() %>%  # ungroup data
  filter(surface_bv_km2 < 100) %>% # keep surface_bv_km2 data below 100 km2
  mutate(surface_bv_km2 = ifelse(surface_bv_km2 %in% boxplot.stats(surface_bv_km2)$out, NA, surface_bv_km2),
         score_ripisylve = ifelse(score_ripisylve %in% boxplot.stats(score_ripisylve)$out, NA, score_ripisylve),
         profondeur_moyenne_qb_m = ifelse(profondeur_moyenne_qb_m %in% boxplot.stats(profondeur_moyenne_qb_m)$out, NA, profondeur_moyenne_qb_m),
         largeur_mouillee_qb_m = ifelse(largeur_mouillee_qb_m %in% boxplot.stats(largeur_mouillee_qb_m)$out, NA, largeur_mouillee_qb_m),
         surface_mouillee_qb_m2 = ifelse(surface_mouillee_qb_m2 %in% boxplot.stats(surface_mouillee_qb_m2)$out, NA, surface_mouillee_qb_m2),
         rayon_hydraulique_qb = ifelse(rayon_hydraulique_qb %in% boxplot.stats(rayon_hydraulique_qb)$out, NA, rayon_hydraulique_qb),
         d16_mm = ifelse(d16_mm %in% boxplot.stats(d16_mm)$out, NA, d16_mm),
         d50_mm = ifelse(d50_mm %in% boxplot.stats(d50_mm)$out, NA, d50_mm),
         d84_mm = ifelse(d84_mm %in% boxplot.stats(d84_mm)$out, NA, d84_mm),
         coefficient_de_sinuosite = ifelse(coefficient_de_sinuosite %in% boxplot.stats(coefficient_de_sinuosite)$out, NA, coefficient_de_sinuosite),
         coefficient_rugosite = ifelse(coefficient_rugosite %in% boxplot.stats(coefficient_rugosite)$out, NA, coefficient_rugosite),
         debit_plein_bord_m3_s = ifelse(debit_plein_bord_m3_s %in% boxplot.stats(debit_plein_bord_m3_s)$out, NA, debit_plein_bord_m3_s),
         vitesse_moyenne_qb_m_s = ifelse(vitesse_moyenne_qb_m_s %in% boxplot.stats(vitesse_moyenne_qb_m_s)$out, NA, vitesse_moyenne_qb_m_s),
         cote_ligne_energie_qb = ifelse(cote_ligne_energie_qb %in% boxplot.stats(cote_ligne_energie_qb)$out, NA, cote_ligne_energie_qb),
         nombre_de_froude_qb = ifelse(nombre_de_froude_qb %in% boxplot.stats(nombre_de_froude_qb)$out, NA, nombre_de_froude_qb),
         force_tractrice_qb_n_m2 = ifelse(force_tractrice_qb_n_m2 %in% boxplot.stats(force_tractrice_qb_n_m2)$out, NA, force_tractrice_qb_n_m2)) %>% # replace outliers by NA by Interquartile range (IQR) from boxplot function
  mutate(montagne_plaine = ifelse(modele_reference_img %in% c("ALPES INTERNES", "CEVENNES", "CORSE", "JURA-PREALPES DU NORD", "MASSIF CENTRAL NORD", "MASSIF CENTRAL SUD", "Montagne volcanique des DOM", "PREALPES DU SUD", "PYRENEES"), "montagne", "plaine")) %>% # try to classify in two category, montagne and plaine
  # select columns
  select(surface_bv_km2, 
         continuite_ripisylve_rive_gauche,
         continuite_ripisylve_rive_droite,
         score_ripisylve,
         profondeur_moyenne_qb_m,
         largeur_mouillee_qb_m,
         surface_mouillee_qb_m2,
         rayon_hydraulique_qb,
         d16_mm,
         d50_mm,
         d84_mm,
         coefficient_de_sinuosite,
         coefficient_rugosite,
         debit_plein_bord_m3_s,
         vitesse_moyenne_qb_m_s,
         cote_ligne_energie_qb,
         nombre_de_froude_qb,
         force_tractrice_qb_n_m2,
         modele_reference_img,
         montagne_plaine) %>%  # select columns
  na.omit() # remove NA values

Théorème central limite

• Prennons un grand nombre d’échantillons de taille n d’une distribution non normale de moyenne \(\mu\) et d’écart-type \(\sigma\). Quelle est la distribution des moyennes si on effectue de nombreux tirage aléatoire de taille n?

• Illustration dans le Grimoire de Lise Vaudor

• La moyenne d’un grand nombre d’échantillons (n>30) de distribution quelconque de taille \(n\) s’approche d’une distribution normale \(N\) de moyenne \(\mu\) et d’écart-type \(\sigma\), soit \(\bar{x} \sim N(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)

\(\mu\) = moyenne de la population, \(\sigma\) = écart-type de la population, \(n\) = taille de l’échantillon

Erreur standard

• L’écart type est un indicateur de la dispersion des valeurs d’un échantillon (ou d’une population) autour de la moyenne.

• L’erreur standard est l’écart type d’un paramètre (moyenne, pourcentage, etc.). La moyenne de notre jeu de données (ou échantillon) n’est qu’une estimation de la moyenne de la population. Si on refaisait l’échantillonnage, on obtiendrait une autre moyenne à cause des fluctuations d’échantillonnage. L’erreur standard est l’écart type de ces moyennes.

• L’erreur standard de la moyenne d’un échantillon peut être calculé : \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\). Il a donc la particularité de diminuer avec la racine carrée de la taille de l’échantillon, contrairement à l’écart type d’un échantillon.

Une explication complète et très pédagogique est dans l’annexe 3 des Statistiques pour statophobes (2004) de Denis Poinsot.

Intervalle de confiance de la moyenne (n>30, distribution quelconque)

• Un intervalle de confiance d’un paramètre est un intervalle dans lequel on estime que le paramètre se trouve avec une certaine probabilité.

• Selon le théorème central limite, la moyenne calculé sur un grand échantillon \(\bar x\) suit une loi approximativement normale de moyenne (de la population) \(\mu\) et d’écart type (ou erreur standard) \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\).

• Nous avons un grand échantillon (n>30), l’écart-type de l’échantillon est donc une bonne estimation de l’écart-type de la population.

• Dans une distribution normale, 95% des valeurs se trouvent dans l’intervalle \(IC_{95\%} = [\bar x-1.96\frac{s}{\sqrt{n}},\bar x+1.96\frac{s}{\sqrt{n}}]\). La moyenne de l’échantillon a 95% de chance de se trouver dans cet intervalle. On peut remplacer 1.96 par une autre valeur critique de la loi normale avec son niveau de confiance associé (\(IC_{99\%}\), la valeur critique est de 2.575).

\(\mu\) = moyenne de la population, \(\bar x\) = moyenne de l’échantillon, \(\sigma\) = écart-type de la population, \(s\) = écart-type de l’échantillon, \(n\) = taille de l’échantillon

Intervalle de confiance de la moyenne (n<30, distribution normale)

• La distribution est normale mais on ne peut plus remplacer l’écart-type de la population \(\sigma\) par l’écart-type de l’échantillon \(s\). L’écart-type de la population est alors remplacé par le \(t\) de Student pour \(n-1\) degrés de liberté (df ou degrees of freedom en anglais). William Sealy Gosset sous le nom de Student puis Ronald Fisher ont démontré que le rapport \(t = \frac{\bar x - \mu}{s/\sqrt{n}}\) suit une loi de Student à \(n-1\) degrés de liberté.

• L’intervalle de confiance est alors pour \(IC_{95\%} = [\bar x-t_{0.975}\frac{s}{\sqrt{n}},\bar x+t_{0.975}\frac{s}{\sqrt{n}}]\). On peut remplacer \(t_{0.975}\) par n’importe quelle valeur critique de la loi de Student pour son niveau de confiance associé.

Intervalle de confiance de la moyenne (n>30 ou distribution normale) - calcul

# mean confidence interval for the sample with 95% confidence level
t.test(carhyce_stat$largeur_mouillee_qb_m, 
       conf.level = 0.95)

    One Sample t-test

data:  carhyce_stat$largeur_mouillee_qb_m
t = 54.892, df = 606, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 5.955185 6.397115
sample estimates:
mean of x 
  6.17615 

Intervalle de confiance de la moyenne (n<30, distribution non normale)

• La méthode du bootstrap : on simule d’une manière itérative une multitude d’échantillons analogues à l’échantillon initial. On génère une multitude de pseudo-échantillons à partir de l’échantillon initial (avec remise).

• Exemple : prenons un échantillon \(x = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]\). Un pseudo-échantillon pourrait être \(x_1 = [2,3,3,5,6,7,7,8,9]\) (avec remise => plusieurs 3 et 7).

• On calcule la moyenne de chaque échantillon et on obtient la distribution des moyennes. L’intervalle de confiance est alors déterminé par les quantiles de cette distribution.

Bootstrap sur une moyenne

# sample 20 values from the population
sample_largeur <- sample(carhyce_stat$largeur_mouillee_qb_m, 20)
print(paste0("Moyenne du sous échantillon = ", mean(sample_largeur)))

[1] "Moyenne du sous échantillon = 5.94855"

bootstat <- function(x, i) mean(x[i]) # bootstrap function
# mean confidence interval for the sample with 95% confidence level
mean_ci_sample <- boot(data = sample_largeur, 
                       statistic = bootstat, R = 1000)
boot.ci(mean_ci_sample, type = "basic", conf = 0.95)

BOOTSTRAP CONFIDENCE INTERVAL CALCULATIONS
Based on 1000 bootstrap replicates

CALL : 
boot.ci(boot.out = mean_ci_sample, conf = 0.95, type = "basic")

Intervals : 
Level      Basic         
95%   ( 4.680,  7.236 )  
Calculations and Intervals on Original Scale

Intervalle de confiance d’une médiane

• La méthode du bootstrap peut être utilisée.

print(paste0("Médiane = ", median(carhyce_stat$largeur_mouillee_qb_m)))

[1] "Médiane = 5.817"

bootstat <- function(x, i) median(x[i]) # bootstrap function
# mean confidence interval for the sample with 95% confidence level
median_ci_sample <- boot(data = carhyce_stat$largeur_mouillee_qb_m, 
                         statistic = bootstat, R = 1000)
boot.ci(median_ci_sample, type = "basic", conf = 0.95)

BOOTSTRAP CONFIDENCE INTERVAL CALCULATIONS
Based on 1000 bootstrap replicates

CALL : 
boot.ci(boot.out = median_ci_sample, conf = 0.95, type = "basic")

Intervals : 
Level      Basic         
95%   ( 5.574,  6.096 )  
Calculations and Intervals on Original Scale

Intervalle de confiance - synthèse

Test de comparaison des moyennes

Est-ce que les moyennes de deux échantillons sont significativement différentes :

• Tests paramétriques (distribution normale ou n>30) :

  • Test de Student (t-test) : deux échantillons de variances égales.
  • Test de Welch : deux échantillons de variances différentes.

• Test non paramétrique (distribution non-normale et n<30) :

  • Test de Wilcoxon-Mann-Whitney.

Si la distribution est très dissymétrique malgrés un échantillon >30, un test non paramétrique est préférable.

Les tests ont des variantes selon l’indépendance des variables. Non-apparié => échantillons indépendants (e.g. comparaison de largeur de cours d’eau entre le bassin du Rhône et de la Loire), apparié => échantillons dépendants (e.g. comparaison de concentration en nitrates avant traitement et après traitement de l’eau au même moment, comparaison point par point).

“two.sided”, “less”, “greater” sont les options pour le test bilatéral, unilatéral inférieur ou unilatéral supérieur selon si l’on souhaite tester si les moyennes sont différentes, si une moyenne est inférieure ou si une moyenne est supérieure.

Choix du test de comparaison des moyennes

*Si la distribution est très dissymétrique malgrés un échantillon >30 => test non paramétrique.

Comparaison des stations de plaine et de montagne

Est-ce que les rivières de montagne ont une granulométrie plus grossière que les rivières de plaine?

Séparation des jeux de données.

carhyce_stat_montagne <- carhyce_stat %>% filter(montagne_plaine == "montagne")
carhyce_stat_montagne_mean = mean(carhyce_stat_montagne$d50_mm, na.rm = TRUE)
print(paste0("Moyenne D50 station de montagne = ", round(carhyce_stat_montagne_mean, 2)))

[1] "Moyenne D50 station de montagne = 39.47"

carhyce_stat_plaine <- carhyce_stat %>% filter(montagne_plaine == "plaine")
carhyce_stat_plaine_mean = mean(carhyce_stat_plaine$d50_mm, na.rm = TRUE)
print(paste0("Moyenne D50 station de plaine = ", round(carhyce_stat_plaine_mean, 2)))

[1] "Moyenne D50 station de plaine = 32.94"

Vérification des distributions - code

# histogram with normal curve
par(mfrow=c(1,2))
h <- hist(carhyce_stat_montagne$d50_mm, col = "lightblue", main = "Montagne", 
          xlab = "D50 (mm)", ylim = c(0, 20))
xfit <- seq(min(carhyce_stat_montagne$d50_mm),
            max(carhyce_stat_montagne$d50_mm), length = 40) 
yfit <- dnorm(xfit, mean = mean(carhyce_stat_montagne$d50_mm), sd = sd(carhyce_stat_montagne$d50_mm)) 
yfit <- yfit * diff(h$mids[1:2]) * length(carhyce_stat_montagne$d50_mm) 
lines(xfit, yfit, col = "red", lwd = 2)
h <- hist(carhyce_stat_plaine$d50_mm, col = "lightgreen", main = "Plaine", 
          xlab = "D50 (mm)")
xfit <- seq(min(carhyce_stat_plaine$d50_mm),
            max(carhyce_stat_plaine$d50_mm), length = 40)
yfit <- dnorm(xfit, mean = mean(carhyce_stat_plaine$d50_mm), sd = sd(carhyce_stat_plaine$d50_mm))
yfit <- yfit * diff(h$mids[1:2]) * length(carhyce_stat_plaine$d50_mm)
lines(xfit, yfit, col = "red", lwd = 2)

Vérification des distributions

Comparaison de moyennes - IC95%

print(paste0("Taille de l'échantillon montagne : ", nrow(carhyce_stat_montagne)))

[1] "Taille de l'échantillon montagne : 123"

print(paste0("Taille de l'échantillon plaine : ", nrow(carhyce_stat_plaine)))

[1] "Taille de l'échantillon plaine : 484"

Condition n>30, distribution quelconque

# mean confidence interval with 95% confidence level
montagne_t_test <- t.test(carhyce_stat_montagne$d50_mm, conf.level = 0.95)
print(paste0("Montagne mean ", round(carhyce_stat_montagne_mean, 2), " IC95% = ", "[", round(montagne_t_test$conf.int[1], 2), " - ", round(montagne_t_test$conf.int[2], 2), "]"))

[1] "Montagne mean 39.47 IC95% = [35.23 - 43.71]"

plaine_t_test <- t.test(carhyce_stat_plaine$d50_mm, conf.level = 0.95)
print(paste0("Plaine mean ", round(carhyce_stat_plaine_mean, 2), " IC95% = ", "[", round(plaine_t_test$conf.int[1], 2), " - ", round(plaine_t_test$conf.int[2], 2), "]"))

[1] "Plaine mean 32.94 IC95% = [31.25 - 34.64]"

Comparaison de moyennes - IC boxplot

# boxplot with mean, confidence interval and their values
boxplot(carhyce_stat$d50_mm ~ carhyce_stat$montagne_plaine, main = "Granulométrie d50", xlab = "", ylab = "Granulométrie d50 (mm)", col = c("lightblue", "lightgreen"))
points(1, carhyce_stat_montagne_mean, pch = 19, col = "red")
segments(1, montagne_t_test$conf.int[1], 1, montagne_t_test$conf.int[2], col = "red")
points(2, carhyce_stat_plaine_mean, pch = 19, col = "red")
segments(2, plaine_t_test$conf.int[1], 2, plaine_t_test$conf.int[2], col = "red")
text(1, montagne_t_test$conf.int[2], paste0(round(carhyce_stat_montagne_mean, 2), " [", round(montagne_t_test$conf.int[1], 2), " - ", round(montagne_t_test$conf.int[2], 2), "]"), pos = 3) # 
text(2, plaine_t_test$conf.int[2], paste0(round(carhyce_stat_plaine_mean, 2), " [", round(plaine_t_test$conf.int[1], 2), " - ", round(plaine_t_test$conf.int[2], 2), "]"), pos = 3) # add values of means and confidence intervals
abline(h = 35, col = "red") # add horizontal line at 35 mm

Test de comparaison des variances - F-test

F-test pour comparer les variances :

• \(H_0\) : les variances sont égales
• \(H_1\) : les variances ne sont pas égales

# F-test
var.test(carhyce_stat_montagne$d50_mm, carhyce_stat_plaine$d50_mm)

    F test to compare two variances

data:  carhyce_stat_montagne$d50_mm and carhyce_stat_plaine$d50_mm
F = 1.5674, num df = 122, denom df = 483, p-value = 0.0009742
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 1.196609 2.102824
sample estimates:
ratio of variances 
          1.567369 

Interprétation

La p-value < 0.05, l’hypothèse nulle est rejetée, les variances des granulométries des rivières de montagne et de plaine sont significativement différentes.

Test de comparaison des moyennes - choix du test

Caractéristiques des données plaine et montagne :

• Deux sous-populations indépendantes (deux zones géographiques différentes)
• Les variances sont différentes
• Taille des stations de montagne et de plaine > 30

Test de comparaison des moyennes

=> Test de Welch non apparié pour comparer les moyennes de deux échantillons indépendants de variances différentes. (le t.test de R réalise toujours un test de variance et change pour le test de Welch si les variances sont différentes) :

• \(H_0\) : les moyennes des deux échantillons sont égales.

• \(H_1\) : les moyennes des deux échantillons sont différentes.

Test de comparaison des moyennes - Welch t-test

# Welch test
t.test(carhyce_stat_montagne$d50_mm, carhyce_stat_plaine$d50_mm,
       var.equal = FALSE, # Welch test
       alternative = "two.sided", # test difference of means
       paired = FALSE, # independant samples
       conf.level = 0.99) # 99% confidence level

    Welch Two Sample t-test

data:  carhyce_stat_montagne$d50_mm and carhyce_stat_plaine$d50_mm
t = 2.8296, df = 163.68, p-value = 0.005244
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
99 percent confidence interval:
  0.5154825 12.5425305
sample estimates:
mean of x mean of y 
 39.47073  32.94173 

Interprétation

La p-value est inférieure à 0.01, l’hypothèse nulle est rejetée, les moyennes des granulométries des rivières de montagne et de plaine sont significativement différentes avec (risque \(\alpha = 1\)%)

Petits échantillons ou distributions non normales

Etudes des Vosges et des Plaine/collinéen calcaire.

# montagne data with only PYRENEES
carhyce_stat_montagne_vosges <- carhyce_stat %>% filter(modele_reference_img == "VOSGES")
# dataset dimension and mean
print(paste0("n = ", dim(carhyce_stat_montagne_vosges)[1]))

[1] "n = 34"

print(paste0("Moyenne Vosges = ", mean(carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm, na.rm = TRUE)))

[1] "Moyenne Vosges = 27.0588235294118"

carhyce_stat_plaine_collineen <- carhyce_stat %>% filter(modele_reference_img == "Plaine/collinéen calcaire")
# dataset dimension and mean
print(paste0("n = ", dim(carhyce_stat_plaine_collineen)[1]))

[1] "n = 14"

print(paste0("Moyenne = ", mean(carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm, na.rm = TRUE)))

[1] "Moyenne = 35.4642857142857"

Vérification des distributions - Code

# histogram with normal curve
par(mfrow=c(1,2))
h <- hist(carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm, col = "lightblue", main = "Vosges", 
          xlab = "D50 (mm)", ylim = c(0, 20))
xfit <- seq(min(carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm),
            max(carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm), length = 40)
yfit <- dnorm(xfit, mean = mean(carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm), sd = sd(carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm))
yfit <- yfit * diff(h$mids[1:2]) * length(carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm)
lines(xfit, yfit, col = "red", lwd = 2)
h <- hist(carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm, col = "lightgreen", main = "Plaine/collinéen calcaire", 
          xlab = "D50 (mm)")
xfit <- seq(min(carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm),
            max(carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm), length = 40)
yfit <- dnorm(xfit, mean = mean(carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm), sd = sd(carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm))
yfit <- yfit * diff(h$mids[1:2]) * length(carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm)
lines(xfit, yfit, col = "red", lwd = 2)

Vérification des distributions

Vérification des distributions - test de Shapiro-Wilk

# Shapiro-Wilk test - Vosges
shapiro.test(carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm)

    Shapiro-Wilk normality test

data:  carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm
W = 0.91553, p-value = 0.0121

# Shapiro-Wilk test - Plaine/collinéen calcaire
shapiro.test(carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm)

    Shapiro-Wilk normality test

data:  carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm
W = 0.96803, p-value = 0.8493

Interprétation

Pour l’échantillon des Vosges, la p-value < 0.05, l’hypothèse nulle de normalité est rejetée. Pour l’échantillon de plaine/collinéen calcaire, la p-value > 0.05, on accepte l’hypothèse nulle de normalité même si le peu d’individus rend l’interprétation des graphiques difficiles.

Mes variances sont-elles égales?

F-test pour comparer les variances (seuil de significativité = 0.05)

- \(H_0\) : les variances sont égales - \(H_1\) : les variances sont différentes

# F-test
var.test(carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm, carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm)

    F test to compare two variances

data:  carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm and carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm
F = 1.2743, num df = 33, denom df = 13, p-value = 0.6597
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 0.4524558 2.9649559
sample estimates:
ratio of variances 
          1.274348 

Interprétation

La p-value est supérieure à 0.05, on accepte l’hypothèse d’égalité des variances.

Comparaison des moyennes - choix du test

Caractéristiques Vosges et stations de plaine/collinéen calcaire :

• Deux sous-populations indédendantes (deux régions géographiques différentes).
• Les variances sont égales.
• Taille de Vosges > 30, distribution non normale.
• Taille de plaine/collinéen calcaire < 30, distribution normale.

Hypothèses :

• \(H_0\) : les moyennes des deux granulométries sont égales.
• \(H_1\) : les moyennes des deux granulométries sont différentes.

Test de comparaison des moyennes

=> Test de Student non apparié à variance égale (seuil de significativité de 5%)

Comparaison des moyennes - test de Student

# t test
t.test(carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm, carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm,
       var.equal = TRUE, # equal variance
       alternative = "two.sided", # test difference of means
       paired = FALSE, # independant samples
       conf.level = 0.95) # 95% confidence level

    Two Sample t-test

data:  carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm and carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm
t = -1.398, df = 46, p-value = 0.1688
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -20.508407   3.697483
sample estimates:
mean of x mean of y 
 27.05882  35.46429 

Interprétation

p-value > 0.05, on accepte l’hypothèse nulle, les moyennes des granulométries sont égales. Ou plus exactement les données ne permettent pas de conclure à une différence significative.

Comparaison des moyennes - IC95%

Caractéristiques Vosges et stations de plaine/collinéen calcaire :

• Taille de Vosges > 30 : Théorème central limite \(s \approx \sigma\).
• Taille de plaine/collinéen calcaire < 30, distribution normale : \(\sigma\) remplacé par \(t\) de Student.

# IC95% Vosges
t.test(carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm, conf.level = 0.95)

    One Sample t-test

data:  carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm
t = 8.0754, df = 33, p-value = 2.553e-09
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 20.24164 33.87600
sample estimates:
mean of x 
 27.05882 

# IC95% Plaine/collinéen calcaire
t.test(carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm, conf.level = 0.95)

    One Sample t-test

data:  carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm
t = 7.6668, df = 13, p-value = 3.551e-06
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 25.47112 45.45745
sample estimates:
mean of x 
 35.46429 

Comparaison des moyennes - IC95% boxplot

# boxplot with mean, confidence interval and their values
boxplot(carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm, carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm, main = "Granulométrie d50", xlab = "", ylab = "Granulométrie d50 (mm)", col = c("lightblue", "lightgreen"), names = c("Vosges", "Plaine/collinéen calcaire"))
points(1, mean(carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm, na.rm = TRUE), pch = 19, col = "red")
segments(1, t.test(carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm, conf.level = 0.95)$conf.int[1], 1, t.test(carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm, conf.level = 0.95)$conf.int[2], col = "red")
points(2, mean(carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm, na.rm = TRUE), pch = 19, col = "red")
segments(2, t.test(carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm, conf.level = 0.95)$conf.int[1], 2, t.test(carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm, conf.level = 0.95)$conf.int[2], col = "red")
text(1, t.test(carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm, conf.level = 0.95)$conf.int[2], paste0(round(mean(carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm, na.rm = TRUE), 2), " [", round(t.test(carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm, conf.level = 0.95)$conf.int[1], 2), " - ", round(t.test(carhyce_stat_montagne_vosges$d50_mm, conf.level = 0.95)$conf.int[2], 2), "]"), pos = 3)
text(2, t.test(carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm, conf.level = 0.95)$conf.int[2], paste0(round(mean(carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm, na.rm = TRUE), 2), " [", round(t.test(carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm, conf.level = 0.95)$conf.int[1], 2), " - ", round(t.test(carhyce_stat_plaine_collineen$d50_mm, conf.level = 0.95)$conf.int[2], 2), "]"), pos = 3)

Analyse multivariée / multidimensionnelle

Principe d’une analyse multivariée

J’ai une banane, c’est un objet 3D que je souhaite représenter en 2D. Quel angle choisir pour avoir quelque chose de “reconnaissable” ?

Ma banane de droite est bien plus reconnaissable que celle de gauche. L’angle choisie permet de reconnaitre l’aspect allongé et courbé de la banane. La couleur est aussi une information complémentaire utile pour l’interprétation.

L’objectif d’une analyse multivariée est de trouver un plan (définis par deux axes) avec le plus d’information possible pour avoir une vue d’ensemble du comportement ou de la structure de nos données.

Cette analogie, l’image et l’explication sont reprises du blog de Lise Vaudor Lise Vaudor, CNRS, 2021

Analyse multivariée / multidimensionnelle

• L’objectif est de synthétiser et de structurer l’information contenue dans des données multidimensionnelles (I individus, K variables) => méthode d’exploration des données.

Analyse	Variables	Fonction standard	Fonction ade4	Fonctions FactoMineR
ACP	plusieurs variables quantitatives	stats::princomp()	ade4::dudi.pca()	FactoMineR::PCA()
AFC	deux variables qualitatives	MASS::corresp()	ade4::dudi.coa()	FactoMineR::CA()
ACM	plusieurs variables qualitatives	MASS::mca()	ade4::dudi.acm()	FactoMineR::MCA()
Analyse mixte	plusieurs variables quantitatives et/ou qualitatives	—	ade4::dudi.mix()	FactoMineR::FAMD()

Source tableau : Joseph Larmarange 2024

Etude des individus et des variables

• Analyse de la variabilité entre les individus :
  • Quels sont leurs caractéristiques communes ?
  • Peut-on identifier des profils d’individus ?
• Analyse des variables :
  • Quels sont les liaisons entre les variables ?
  • Peut-on identifier des groupes de variables ?
• exemples : 30 individus et 4 variables :
  • les variables ont 30 dimensions dans l’espace des individus.
  • les individus ont 4 dimensions dans l’espace des variables.

Reprenons nos données

carhyce_stat <- carhyce %>% 
  # select the last date for each station
  group_by(code_station) %>% # group by station
  filter(date_realisation == max(date_realisation)) %>% # select the last date by group
  ungroup() %>%  # ungroup data
  mutate(surface_bv_km2 = ifelse(surface_bv_km2 %in% boxplot.stats(surface_bv_km2)$out, NA, surface_bv_km2),
         score_ripisylve = ifelse(score_ripisylve %in% boxplot.stats(score_ripisylve)$out, NA, score_ripisylve),
         profondeur_moyenne_qb_m = ifelse(profondeur_moyenne_qb_m %in% boxplot.stats(profondeur_moyenne_qb_m)$out, NA, profondeur_moyenne_qb_m),
         largeur_mouillee_qb_m = ifelse(largeur_mouillee_qb_m %in% boxplot.stats(largeur_mouillee_qb_m)$out, NA, largeur_mouillee_qb_m),
         surface_mouillee_qb_m2 = ifelse(surface_mouillee_qb_m2 %in% boxplot.stats(surface_mouillee_qb_m2)$out, NA, surface_mouillee_qb_m2),
         rayon_hydraulique_qb = ifelse(rayon_hydraulique_qb %in% boxplot.stats(rayon_hydraulique_qb)$out, NA, rayon_hydraulique_qb),
         d16_mm = ifelse(d16_mm %in% boxplot.stats(d16_mm)$out, NA, d16_mm),
         d50_mm = ifelse(d50_mm %in% boxplot.stats(d50_mm)$out, NA, d50_mm),
         d84_mm = ifelse(d84_mm %in% boxplot.stats(d84_mm)$out, NA, d84_mm),
         coefficient_de_sinuosite = ifelse(coefficient_de_sinuosite %in% boxplot.stats(coefficient_de_sinuosite)$out, NA, coefficient_de_sinuosite),
         coefficient_rugosite = ifelse(coefficient_rugosite %in% boxplot.stats(coefficient_rugosite)$out, NA, coefficient_rugosite),
         debit_plein_bord_m3_s = ifelse(debit_plein_bord_m3_s %in% boxplot.stats(debit_plein_bord_m3_s)$out, NA, debit_plein_bord_m3_s),
         vitesse_moyenne_qb_m_s = ifelse(vitesse_moyenne_qb_m_s %in% boxplot.stats(vitesse_moyenne_qb_m_s)$out, NA, vitesse_moyenne_qb_m_s),
         cote_ligne_energie_qb = ifelse(cote_ligne_energie_qb %in% boxplot.stats(cote_ligne_energie_qb)$out, NA, cote_ligne_energie_qb),
         nombre_de_froude_qb = ifelse(nombre_de_froude_qb %in% boxplot.stats(nombre_de_froude_qb)$out, NA, nombre_de_froude_qb),
         force_tractrice_qb_n_m2 = ifelse(force_tractrice_qb_n_m2 %in% boxplot.stats(force_tractrice_qb_n_m2)$out, NA, force_tractrice_qb_n_m2)) %>% # replace outliers by NA by Interquartile range (IQR) from boxplot function
  mutate(montagne_plaine = ifelse(modele_reference_img %in% c("ALPES INTERNES", "CEVENNES", "CORSE", "JURA-PREALPES DU NORD", "MASSIF CENTRAL NORD", "MASSIF CENTRAL SUD", "Montagne volcanique des DOM", "PREALPES DU SUD", "PYRENEES"), "montagne", "plaine")) %>% # try to classify in two category, montagne and plaine
  # select columns
  select(surface_bv_km2, 
         continuite_ripisylve_rive_gauche,
         continuite_ripisylve_rive_droite,
         score_ripisylve,
         profondeur_moyenne_qb_m,
         largeur_mouillee_qb_m,
         surface_mouillee_qb_m2,
         rayon_hydraulique_qb,
         d16_mm,
         d50_mm,
         d84_mm,
         coefficient_de_sinuosite,
         coefficient_rugosite,
         debit_plein_bord_m3_s,
         vitesse_moyenne_qb_m_s,
         cote_ligne_energie_qb,
         nombre_de_froude_qb,
         force_tractrice_qb_n_m2,
         montagne_plaine) # select columns

Analyse en composantes principales (ACP)

ACP sur tous les individus et toutes les variables :

# PCA
pca <- PCA(carhyce_stat[, c("score_ripisylve", "profondeur_moyenne_qb_m", "largeur_mouillee_qb_m", "surface_mouillee_qb_m2", "rayon_hydraulique_qb", "d16_mm", "d50_mm", "d84_mm", "coefficient_de_sinuosite", "coefficient_rugosite", "debit_plein_bord_m3_s", "vitesse_moyenne_qb_m_s", "cote_ligne_energie_qb", "nombre_de_froude_qb", "force_tractrice_qb_n_m2")], 
            ncp = Inf, # number of dimensions
            scale.unit = TRUE, # reduce
            graph = FALSE) # not display graph
print(pca)

**Results for the Principal Component Analysis (PCA)**
The analysis was performed on 2590 individuals, described by 15 variables
*The results are available in the following objects:

   name               description                          
1  "$eig"             "eigenvalues"                        
2  "$var"             "results for the variables"          
3  "$var$coord"       "coord. for the variables"           
4  "$var$cor"         "correlations variables - dimensions"
5  "$var$cos2"        "cos2 for the variables"             
6  "$var$contrib"     "contributions of the variables"     
7  "$ind"             "results for the individuals"        
8  "$ind$coord"       "coord. for the individuals"         
9  "$ind$cos2"        "cos2 for the individuals"           
10 "$ind$contrib"     "contributions of the individuals"   
11 "$call"            "summary statistics"                 
12 "$call$centre"     "mean of the variables"              
13 "$call$ecart.type" "standard error of the variables"    
14 "$call$row.w"      "weights for the individuals"        
15 "$call$col.w"      "weights for the variables"          

ACP - Vocabulaire et information

• eig : eigenvalues (valeurs propres)
• ind : individus
• var : variables
• coord : coordonnées dans l’espace des individus ou des variables
• cos2 : qualité de représentation d’un individu ou d’une variable
• contrib : contribution d’un individu ou d’une variable au calcul de l’axe

Centrage et réduction

• Les variables sont souvent exprimées dans des unités différentes, les effets d’échelles les rendent difficile à comparer.

• On les centre : on soustrait la moyenne de chaque variable à chaque observation.

• On les réduit : on divise par l’écart-type de chaque variable.

• On obtient des variables centrées-réduites, qui ont une moyenne nulle et une variance égale à 1.

Dimension des individus et des variables

• Espace des individus (un individus caractérisé par X variables) :

surface_bv_km2	continuite_ripisylve_rive_gauche	continuite_ripisylve_rive_droite	score_ripisylve	profondeur_moyenne_qb_m	largeur_mouillee_qb_m	surface_mouillee_qb_m2	rayon_hydraulique_qb	d16_mm	d50_mm	d84_mm	coefficient_de_sinuosite	coefficient_rugosite	debit_plein_bord_m3_s	vitesse_moyenne_qb_m_s	cote_ligne_energie_qb	nombre_de_froude_qb	force_tractrice_qb_n_m2	montagne_plaine
75.10	continue	bosquets éparses	NA	1.163	8.621	10.023	1.016	18	29.5	53.00	NA	3.474	2.242	0.234	100.982	0.071	40.452	plaine
399.65	bosquets éparses	bosquets éparses	0.188	1.227	13.061	15.993	1.123	23	65.5	105.16	1.01	10.611	10.373	0.658	101.078	0.191	35.262	plaine
127.59	semi-continue	bosquets éparses	0.350	1.171	10.929	12.705	1.064	25	38.0	63.32	1.01	7.931	6.492	0.520	100.810	0.154	39.888	plaine

• Espace des variables (une variable caractérisée par X individus) :

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33	0.429	1.299	0.866	1.007	1.212	NA	1.010	NA	0.801	1.299	1.126	0.541	0.585	1.126	0.953	0.866	NA	0.487	0.736	0.650	0.541	1.007	NA	0.541	0.650	0.650	1.212	0.325	0.541	0.487	0.541	0.779	1.126	0.736	NA	0.108	0.271	NA	0.541	1.212	0.650	0.350	NA	NA	0.487	0.595	0.390	NA	NA	NA	NA	NA	NA	0.390	0.379	NA	NA	NA	NA	0.866	0.801	0.108	1.299	1.299	1.299	0.801	0.855	0.487	0.310	0.801	0.671	0.487	0.650	0.541	NA	0.310	0.931	NA	0.866	0.541	1.299	0.736	0.541	1.299	1.212	1.126	1.299	0.801	0.487	0.487	1.212	0.736	1.212	1.299	0.931	1.212	0.801	1.299	0.390	0.245	0.108	0.310	0.736	0.650	0.595	1.299	0.866	1.083	0.065	0.671	NA	0.548	1.299	1.299	0.108	0.650	0.866	1.039	1.126	0.152	1.126	0.487	0.541	NA	0.866	NA	1.299	1.212	NA	0.429	1.299	0.595	0.130	NA	1.039	0.541	0.433	1.299	0.433	NA	0.866	0.866	1.299	1.299	NA	0.487	1.299	0.599	0.310	NA	0.065	0.097	0.541	0.541	0.541	NA	0.541	0.541	0.152	NA	NA	0.650	0.595	NA	0.541	0.541	0.541	0.390	1.212	NA	NA	NA	0.650	0.606	0.650	0.390	0.769	NA	NA	NA	0.707	0.650	0.541	1.299	NA	0.350	0.599	NA	0.650	0.599	0.390	NA	0.736	NA	1.299	0.830	NA	0.541	0.541	NA	0.325	1.039	0.855	NA	0.830	NA	NA	1.126	0.390	0.108	1.083	1.212	1.039	0.595	NA	NA	NA	0.866	0.650	NA	0.595	0.429	1.299	NA	0.433	1.126	NA	NA	1.039	0.595	NA	NA	0.541	0.931	0.650	0.541	1.039	NA	NA	0.350	0.310	0.271	0.310	0.548	1.083	1.083	1.083	0.310	0.866	0.866	0.469	NA	0.548	0.736	0.801	1.299	0.548	0.469	1.126	NA	NA	1.083	0.736	1.083	1.299	1.299	1.299	1.299	1.299	0.801	NA	NA	0.595	1.299	0.350	1.039	1.299	0.650	0.487	0.866	NA	0.541	0.433	0.595	1.126	1.083	0.379	0.736	0.548	0.650	0.245	0.866	0.866	1.083	0.769	0.447	1.039	0.065	0.801	0.350	0.000	0.736	1.126	NA	0.595	0.548	0.671	NA	0.595	0.736	NA	0.595	NA	1.126	0.736	0.801	0.541	NA	NA	0.541	0.650	NA	0.722	NA	0.650	0.650	NA	1.299	1.126	0.541	1.212	0.866	0.072	0.595	0.707	0.541	NA	0.866	1.126	0.595	0.595	1.212	0.736	1.299	1.039	NA	1.126	1.299	0.433	NA	0.429	NA	NA	NA	0.108	0.779	NA	0.779	0.628	0.779	0.931	0.595	0.541	0.801	1.299	NA	0.595	1.299	0.541	0.390	1.083	1.299	1.299	0.498	NA	1.039	1.126	1.126	1.007	1.299	0.650	1.083	0.433	1.299	1.083	0.595	0.595	1.083	NA	0.595	0.736	0.736	NA	0.310	0.433	1.299	0.650	0.671	NA	NA	1.299	1.083	1.126	0.390	0.541	NA	NA	NA	0.310	0.487	NA	0.650	0.866	0.595	0.650	1.299	1.299	0.671	1.126	0.541	NA	1.212	1.083	1.299	1.083	NA	0.350	0.866	NA	0.866	0.671	NA	0.541	1.299	0.541	NA	NA	0.271	NA	0.433	0.650	0.866	1.299	0.433	1.126	NA	0.112	0.595	0.541	0.541	0.108	NA	0.310	0.595	NA	0.736	0.231	0.548	0.541	0.650	0.671	0.541	0.866	0.541	0.433	0.487	NA	NA	NA	0.595	NA	NA	NA	1.299	NA	NA	0.541	0.650	0.108	1.039	0.541	1.126	0.606	0.390	0.541	0.310	0.595	0.866	0.650	0.650	0.541	1.299	0.606	NA	NA	1.299	0.866	0.801	NA	0.433	1.212	0.736	NA	1.299	NA	0.866	0.541	0.595	NA	NA	NA	0.433	0.650	0.650	NA	NA	1.299	1.299	0.487	NA	0.801	0.541	NA	NA	0.595	NA	NA	1.212	0.595	0.931	0.595	0.433	0.390	0.310	0.595	0.325	1.299	1.299	1.010	0.866	0.769	1.083	0.830	1.212	1.126	NA	0.541	1.299	0.595	1.039	NA	1.083	0.855	0.650	0.390	0.650	0.541	0.541	0.433	0.931	0.523	0.498	0.498	0.310	0.487	0.541	0.595	0.152	NA	1.299	1.083	0.498	0.152	NA	0.390	NA	0.801	0.469	NA	0.736	NA	0.801	0.346	0.487	0.487	0.548	0.650	0.541	0.650	0.390	0.541	NA	0.541	NA	0.390	0.866	0.866	NA	NA	NA	NA	0.541	0.736	0.866	0.390	NA	NA	NA	0.671	0.599	0.541	NA	0.487	0.325	0.541	NA	0.191	0.866	0.801	0.429	0.271	0.487	0.108	0.350	0.595	1.083	0.650	0.671	0.866	0.599	0.429	NA	0.325	0.390	1.083	NA	1.299	1.126	NA	0.599	0.541	1.299	1.299	NA	0.801	NA	1.126	NA	NA	0.054	NA	0.487	0.801	0.548	0.931	NA	NA	0.390	0.736	0.736	0.736	NA	NA	0.650	NA	0.595	0.271	0.231	0.541	NA	0.487	0.736	1.212	0.866	1.083	0.866	0.289	NA	NA	0.736	0.548	0.704	0.830	0.595	1.083	0.722	0.541	1.083	0.931	1.007	0.231	0.390	NA	NA	0.339	0.736	1.212	0.736	NA	NA	NA	0.379	0.487	0.310	1.212	0.433	NA	NA	0.650	0.108	0.487	0.087	0.595	0.487	1.010	NA	0.152	0.310	NA	NA	NA	NA	NA	NA	NA	0.350	NA	0.310	NA	NA	NA	0.650	0.953	0.953	0.397	1.126	NA	0.433	NA	0.736	0.433	0.433	0.866	NA	NA	0.541	NA	0.541	0.595	0.595	0.541	0.541	0.595	NA	0.108	0.469	NA	0.801	0.487	NA	0.350	1.007	0.433	NA	NA	0.541	0.541	1.212	0.271	NA	0.541	0.595	NA	1.126	1.126	0.541	1.126	NA	NA	NA	1.126	0.379	1.083	0.650	0.866	0.595	1.039	0.350	NA	NA	NA	NA	1.299	0.310	1.299	0.487	1.007	0.595	1.299	0.217	0.541	NA	NA	0.541	1.010	0.595	NA	0.390	0.650	0.650	0.650

ACP - Analyse des valeurs propres

• Quantité de variance expliquée par chaque axe (ou inertie). Deux axes nous permettent de visualiser les données en 2D.

head(pca$eig)

       eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
comp 1  4.5242747              30.161831                          30.16183
comp 2  2.5086174              16.724116                          46.88595
comp 3  2.1560245              14.373497                          61.25944
comp 4  1.0842269               7.228179                          68.48762
comp 5  0.9562415               6.374943                          74.86257
comp 6  0.8620502               5.747001                          80.60957

Interprétation

Le premier axe explique 30% de la variance. Les trois premiers axes permettent d’expliquer 61% de la variance. On va donc s’intéresser à ces trois axes pour représenter l’information. Un plan (2D) avec les deux premiers axes permet de représenter 47 % de l’information d’un jeu de données en 15 dimensions (15 variables quantitatives).

ACP - Analyse graphique des valeurs propres

Peut-on résumer l’essentiel de l’information avec un nombre réduit de dimensions (ou axes) ? => On cherche des “coude” ou points d’inflexion.

# Scree plot
fviz_eig(pca, addlabels = TRUE)

Interprétation

On trouve 2 points d’inflexion, un après le premier axe et le second après le troisième axe. Le premier axe est particulièrement intéressant, il représente 30% de l’inertie.

ACP - Critère de Kaiser

On ne garde que les axes dont la valeur propre est supérieure à 1 (1 = inertie moyenne si les variables sont centrées et réduites).

barplot(pca$eig[,1],xlab = "facteur", ylab = " Inertie (eigenvalue) ", col="blue")
abline(h=1, col="red", lty=2) # add a line at 1

ACP - Contribution au premier axe

Un axe est composé des différentes variables dans des proportions variées. Quelles sont les variables qui contribuent le plus à l’inertie du premier axe ? Ou quelles sont les contributions des modalités de l’axe ?

fviz_contrib(pca, choice = "var", axes = 1)

Interprétation

Le premier axe se composent principalement de variables de géométrie avec le débit

ACP - Contribution au deuxième axe

fviz_contrib(pca, choice = "var", axes = 2)

Interprétation

Le deuxième axe se compose essentiellement de variables décrivant la granulométrie et l’énergie du cours d’eau

ACP - Interprétation graphique

ACP - Modalités dans le plan factoriel

• Cercle des corrélations
• Interprétation

fviz_pca_var(pca, col.var = "contrib", gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"), repel = TRUE)

Les variables bien représentées sur les axes 1 et 2 sont celles des valeurs propres. Nous avons les géométries des cours d’eau qui sont aussi fortement corrélées positivement entre elles (profondeur, rayon, largeur, surface), les indicateurs de la granulométrie sont aussi fortement corrélés positivement entre eux. Nous n’observons pas de corrélation entre ces deux groupes. Les indicateurs d’énergie des cours d’eau sont moins bien représentés et sont plutôt proches des indicateurs de la granulométrie à l’exception de la cote de ligne d’énergie.

ACP - Les individus dans le plan factoriel

• Répartitions des individus
• Interprétation

fviz_pca_ind(pca, geom.ind = "point",
             alpha.ind = 0.3) # densité de points superposées

Nous n’observons pas de groupes de stations bien identifiés sur les axes 1 et 2. Les stations sont réparties de manière homogène dans l’espace des individus.

ACP Explor

Des variables et/ou individus supplémentaires, non pris en compte dans les calculs, peuvent être ajoutés pour l’interprétation.

pca <- PCA(carhyce_stat, 
           quanti.sup = 1, # surface_bv_km2
           quali.sup = c(2,3,4,19), # ripisyle gauche et droite, montagne/plaine
           ncp = Inf, # number of dimensions
           scale.unit = TRUE, # reduce
           graph = FALSE) # not display graph

Visualisation avec explor (ouvre une application web) :

# package explor
# explor(pca)

ACP Explor - Graphique

• Individus
• Interprétation

L’ajout de la variable qualitative montagne_plaine permet d’identifier deux profils de stations. Au regard du cercle des corrélations, les stations de montagne on tendance à avoir une granulométrie plus grossière et probablement une énergie plus forte (vitesse, force tractrice, nombre de froude) que les stations de plaine. Les deux groupes ne sont cependant pas clairement distincts. Les variables de géométrie ou le débit ne permet pas clairement d’expliquer ces différences.

Classification

Classification supervisée vs non supervisée

• Supervisée : on connait les classes à l’avance, on cherche à prédire la classe d’un nouvel individu à partir de différentes variables.
  • Exemple : on a une image satellite et on cherche à identifier les zones urbaines sur la base des valeurs des pixels. On identifie des zones urbains et non urbaines pour entrainer le modèle. On se sert du modèle pour prédire les zones urbaines sur une nouvelle image.
  • Méthodes : régression logistique, SVM, arbres de décision, random forest
• Non supervisée : on ne connait pas les classes à l’avance, on cherche à regrouper les individus en fonction de leurs ressemblances.
  • Exemple : à partir d’une image satellite, on cherche à regrouper les pixels en fonction de leurs valeurs et identifier des zones homogènes que l’on suppose correspondre à des occupations du sol différentes.
  • Méthodes : K-means, CAH

Classification ascendante hiérarchique (CAH)

• Une méthode non supervisée qui permet de regrouper des individus en fonction de leurs ressemblances.
• On cherche à ce que les individus regroupés au sein d’une même classe (homogénéité intra-classe) soient le plus semblables possibles tandis que les classes soient le plus dissemblables (hétérogénéité inter-classe).
• La ressemblance ou la dissemblance entre les individus est mesurée à l’aide d’une matrice distances entre chaque individus pris deux à deux. Plus la distance est faible, plus les individus sont semblables.
• La CAH part des individus (ascendante) et les regroupe progressivement en classes de plus en plus grandes (hiérarchique) => dendrogramme.

Voir le guide de Joseph Larmarange IRD, 2024 ou Analyse-R

Principes de la CAH

• On commence par considérer chaque individu comme une classe à part entière.
• On regroupe les deux individus les plus proches pour former une nouvelle classe.
• On répète l’opération jusqu’à ce que tous les individus soient regroupés dans une seule classe.
• On obtient un dendrogramme qui permet de visualiser les regroupements successifs.

Reprenons nos données

carhyce_stat <- carhyce %>% 
  # select the last date for each station
  group_by(code_station) %>% # group by station
  filter(date_realisation == max(date_realisation)) %>% # select the last date by group
  ungroup() %>%  # ungroup data
  # remove duplicated code_station
  filter(!duplicated(code_station)) %>% # remove duplicated code_station %>% 
  mutate(surface_bv_km2 = ifelse(surface_bv_km2 %in% boxplot.stats(surface_bv_km2)$out, NA, surface_bv_km2),
         score_ripisylve = ifelse(score_ripisylve %in% boxplot.stats(score_ripisylve)$out, NA, score_ripisylve),
         profondeur_moyenne_qb_m = ifelse(profondeur_moyenne_qb_m %in% boxplot.stats(profondeur_moyenne_qb_m)$out, NA, profondeur_moyenne_qb_m),
         largeur_mouillee_qb_m = ifelse(largeur_mouillee_qb_m %in% boxplot.stats(largeur_mouillee_qb_m)$out, NA, largeur_mouillee_qb_m),
         surface_mouillee_qb_m2 = ifelse(surface_mouillee_qb_m2 %in% boxplot.stats(surface_mouillee_qb_m2)$out, NA, surface_mouillee_qb_m2),
         rayon_hydraulique_qb = ifelse(rayon_hydraulique_qb %in% boxplot.stats(rayon_hydraulique_qb)$out, NA, rayon_hydraulique_qb),
         d16_mm = ifelse(d16_mm %in% boxplot.stats(d16_mm)$out, NA, d16_mm),
         d50_mm = ifelse(d50_mm %in% boxplot.stats(d50_mm)$out, NA, d50_mm),
         d84_mm = ifelse(d84_mm %in% boxplot.stats(d84_mm)$out, NA, d84_mm),
         coefficient_de_sinuosite = ifelse(coefficient_de_sinuosite %in% boxplot.stats(coefficient_de_sinuosite)$out, NA, coefficient_de_sinuosite),
         coefficient_rugosite = ifelse(coefficient_rugosite %in% boxplot.stats(coefficient_rugosite)$out, NA, coefficient_rugosite),
         debit_plein_bord_m3_s = ifelse(debit_plein_bord_m3_s %in% boxplot.stats(debit_plein_bord_m3_s)$out, NA, debit_plein_bord_m3_s),
         vitesse_moyenne_qb_m_s = ifelse(vitesse_moyenne_qb_m_s %in% boxplot.stats(vitesse_moyenne_qb_m_s)$out, NA, vitesse_moyenne_qb_m_s),
         cote_ligne_energie_qb = ifelse(cote_ligne_energie_qb %in% boxplot.stats(cote_ligne_energie_qb)$out, NA, cote_ligne_energie_qb),
         nombre_de_froude_qb = ifelse(nombre_de_froude_qb %in% boxplot.stats(nombre_de_froude_qb)$out, NA, nombre_de_froude_qb),
         force_tractrice_qb_n_m2 = ifelse(force_tractrice_qb_n_m2 %in% boxplot.stats(force_tractrice_qb_n_m2)$out, NA, force_tractrice_qb_n_m2)) %>% # replace outliers by NA by Interquartile range (IQR) from boxplot function
  mutate(montagne_plaine = ifelse(modele_reference_img %in% c("ALPES INTERNES", "CEVENNES", "CORSE", "JURA-PREALPES DU NORD", "MASSIF CENTRAL NORD", "MASSIF CENTRAL SUD", "Montagne volcanique des DOM", "PREALPES DU SUD", "PYRENEES"), "montagne", "plaine")) %>% # try to classify in two category, montagne and plaine
  # select columns
  select(surface_bv_km2,
         profondeur_moyenne_qb_m,
         largeur_mouillee_qb_m,
         surface_mouillee_qb_m2,
         rayon_hydraulique_qb,
         d16_mm,
         d50_mm,
         d84_mm,
         debit_plein_bord_m3_s,
         vitesse_moyenne_qb_m_s,
         cote_ligne_energie_qb,
         nombre_de_froude_qb,
         force_tractrice_qb_n_m2, 
         code_station) %>%  # select columns
  column_to_rownames(var = "code_station") %>% # set code_station as rownames
  na.omit() # remove NA

Normalisation des données

• Toujours avoir une étape de description des données (distribution, qualité, graph de corrélation, etc.).

• Homogénéisation des données pour éviter les effets d’échelle (unités différentes) et que les variables à forte variance soit prépondérante dans les résultats.

Transformation de Milligan & Cooper (utilisée pour la suite, donne une meilleur découverte de cluster)

# Milligan & Cooper transformation function
normalize_MC <- function(x) {
  return ((x - min(x, na.rm = TRUE)) / (max(x, na.rm = TRUE) - min(x, na.rm = TRUE)))
}
# normalize data
carhyce_stat_mc<-as.data.frame(lapply(carhyce_stat, normalize_MC))

Transformation z-score (centrage-réduction)

# z-score transformation
carhyce_stat_z <- scale(carhyce_stat, center = TRUE, scale = TRUE)

La matrice de distance

Calul de la distance entre chaque individu.

• Plusieurs méthode de calcul de distance :
  • Variables quantitative : euclidienne, manhattan
  • Avec des variables qualitatives : Gower, \(\phi^2\) (utilisé dans les analyses de correspondance multiples ou ACM)

# Euclidean distance
dist_euclid <- dist(carhyce_stat_mc, method = "euclidean")

Méthode d’aggrégation

Comment regrouper des classes entres elles ou calculer la distance entre deux classes ?

• Saut maximum (ou complete linkage) : distance maximum entre deux individus de deux classes. Tend à créer des classes de diamètre équivalent, sensible aux individus hors normes.
• Saut minimum (ou single linkage) : distance minimum entre deux individus de deux classes. Permet de traiter des formes allongées mais peut avoir des effets de chaîne et regrouper deux classes éloignées reliées par une chaîne d’individus.
• Distance moyenne (ou average linkage) : moyenne des distances entre tous les individus de deux classes. Moins sensible aux bruits, tend à créer des classes de même variance.
• Distance des barycentre (ou centroid linkage) : distance entre les barycentres des deux classes. Peu sensible au bruit mais moins précise.
• Distance de Ward : minimise l’inertie (ou la variance) intra-classe ou maximise l’intertie inter-classe (différences entre les classes). Une méthode très utilisée, peu sensible aux bruits et aux valeurs extrêmes, tend à créer des classes sphériques et de même effectifs.

Pour aller plus loin, voir Data Mining et Statistique décisionnelle (2017), Stéphane Tufféry, Editions Technip et l’article Hierarchical Clustering de Fatih Karabiber sur https://www.learndatasci.com

Agrégation et dendrogramme

# Ward method
hc <- hclust(dist_euclid, method = "ward.D2")
# Dendrogram
plot(hc, hang = -1, cex = 0.6, main = "Dendrogramme CAH", label=FALSE)

Nombre de classes

• Evaluation graphique sur le dendrogramme.
• Représentation des pertes d’inertie inter-classe (mesure la séparation entre chaque classe). Plus le saut est grand plus la distance entre les clusters fusionnés est grande.

Illustration reprise de : Data Mining et Statistique décisionnelle (2017), Stéphane Tufféry, Editions Technip (p. 305)

Nombre de classes - Inertie

v <- sort(hc$height,decreasing=T)
plot(1:length(v),v,type = "s", xlab = "Nombre de classes", ylab = "Inertie", xlim = c(0, 30),
     xaxt = "n")
axis(1, at = seq(1, 30, by = 1), las=2)

Découper les classes

plot(hc, labels = FALSE, main = "Partition en 2, 5 ou 7 classes", xlab = "", ylab = "", sub = "", axes = FALSE, hang = -1)
rect.hclust(hc, 2, border = "green3")
rect.hclust(hc, 4, border = "red3")
rect.hclust(hc, 7, border = "blue3")

# cut dendrograme in 4 classes
hc_gp <- cutree(hc,k=4)

Interprétation CAH

• Quelles sont les distributions des variables dans chaque classe ?
• Quelles sont les caractéristiques des individus dans chaque classe ?
• Quelles sont les caractéristiques des classes ?

# box plot each class for each variable
carhyce_stat$group <- as.factor(hc_gp)
carhyce_stat %>%
  gather(key = "variable", value = "value", -group) %>%
  ggplot(aes(x = group, y = value, fill = group)) +
  geom_boxplot() +
  facet_wrap(~variable, scales = "free_y") +
  theme_minimal() +
  theme(axis.text.x = element_text(angle = 45, hjust = 1))

Interprétation CAH - boxplot variables

Répartition spatiale des classes - Code

tmap_mode(mode = "view") # set tmap mode to interactive
carhyce_stat_sf <- carhyce_stat %>% 
  rownames_to_column(var = "code_station") %>% 
  mutate(code_station = as.integer(code_station)) %>%
  # add x and y columns from carhyce from code_station and rownames
  left_join(carhyce %>% select(code_station, x, y), by = c("code_station" = "code_station")) %>% 
  st_as_sf(coords = c("x", "y")) # convert to sf object
st_crs(carhyce_stat_sf) <- 2154 # set projection
tm_shape(carhyce_stat_sf) + # tmap object
  tm_dots(col = "group", size = 0.1, palette = "Set1") + # plot points
  tm_layout(legend.position = c("right", "top")) # legend position

Répartition spatiale des classes - Code

Interprétation CAH - boxplot classes

# variables boxplots for class 2 only
carhyce_stat %>%
  filter(group == 2) %>%
  gather(key = "variable", value = "value", -group) %>%
  ggplot(aes(x = variable, y = value, fill = variable)) +
  geom_boxplot() + theme_minimal() + 
  theme(axis.text.x = element_text(angle = 45, hjust = 1))

Interprétation CAH - ACP

# PCA
pca <- PCA(carhyce_stat, ncp = Inf, scale.unit = TRUE, graph = FALSE,
            quali.sup = 14) # illustrative group variable
# explor(pca)

Un peu de détails

Test de la pente d’une régression linéaire

• Hypothèse nulle \(H_0\) : la pente est égale à 0 (pas de relation linéaire entre les deux variables)
• Hypothèse alternative \(H_1\) : la pente est différente de 0 (relation linéaire entre les deux variables)
• Test de Student : \(t = \frac{b_1 - 0}{S(b_1)}\) où \(b_1\) est la pente estimée et \(S(b_1)\) son écart-type.
• Le test suit une loi de Student à \(n-2\) degrés de liberté.

Les degrés de liberté

Les degrées de liberté sont le nombre de valeurs susceptible de varier dans un calcul statistique. Les observations d’un échantillon peuvent variées d’un échantillon à l’autre, reflétant la variabilité inhérente des données dans la population. Les degrés de liberté sont un concept statistique qui quantifie combien de valeurs peuvent encore varier après que certaines restrictions ont été appliquées. Dans le cas de l’échantillon, si vous connaissez la moyenne \(\bar x\), toutes les valeurs de l’échantillon doivent s’ajuster pour que la somme totale des écarts à la moyenne soit nulle. Cela signifie que si n est la taille de l’échantillon, seulement n-1 valeurs peuvent varier indépendamment, la dernière est déterminée par les autres.

Eléments de calcul

Paramètres de dispersion

• Variance => la moyenne des carrés des écarts à cette moyenne :

\(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\)

• Ecart-type => la racine carrée de la variance :

\(s = \sqrt{s^2}\)

• Ecart moyen => la moyenne des écarts absolus à la moyenne :

\(EM = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|\)

Droite des moindres carrés

Dans une relation linéaire simple, la droite de régression est celle qui minimise la somme des les carrées des distances.

Covariance et corrélation

• Covariance => moyenne des produits des écarts à leur moyenne des deux variables :

\(Cov(X,Y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\)

• Coefficient de corrélation de Bravais-Pearson => rapport entre la covariance et la racine carrée des produits des variances des deux variables :

\(r = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}\) ou

\(r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}\)